Systeemmodellering - Gebruikersbijdragen [nl]

Verkeersstroommodel

2025-01-30T23:34:26Z

AlexanderVerbraeck: /* Notatie */

Het macroscopische '''verkeersstroommodel''' beschrijft de verkeersstroom op een wegvak in termen van drie grootheden waartussen een vast verband bestaat:

* de ''intensiteit'' q van het verkeer, gemeten als het aantal voertuigen dat per uur een referentiepunt op het wegvak passeert
* de ''dichtheid'' k, gemeten als het aantal voertuigen per kilometer weg
* de ''snelheid'' u, gemeten in km/h als het gemiddelde van de snelheden van de voertuigen die zich op het wegvak bevinden

De intensiteit is per definitie gelijk aan de dichtheid maal de snelheid: q = k · u.

Tussen de snelheid en de dichtheid bestaat een verband dat volgt uit het gedrag van bestuurders: bij hogere snelheid houden bestuurders meer afstand tot het voeruig vóór hen en neemt de dichtheid dus af. Omgekeerd neemt bij lagere snelheid de dichtheid toe. Je kunt deze relatie zien als een [[Empirische cyclus|empirische wet]].

Omdat de afstand die bestuurders tot hun voorligger houden ook afhangt van de weersomstandigheden en de wegeigenschappen (breedte van de rijbaan, wegdek, bochten) is het verband tussen u en k niet eenduidig bepaald.

De reciproke van de intensiteit h = 1&frasl;q is de gemiddelde ''volgtijd'' (de tijd tussen het moment dat een voertuig het referentiepunt passeert en het tijdstip waarop het volgende voertuig dat doet). Bestuurders wordt aangeraden twee seconden volgtijd aan te houden. In de praktijk is op autosnelwegen de volgtijd vaak lager (bij 90 km/h rond de 1 seconde).

De reciproke van de dichtheid s = 1&frasl;k is de gemiddelde ''voertuigafstand'' (de afstand tussen het middelpunt van twee opeenvolgende voertuigen).

[[Bestand:basisdiagramVerkeersafwikkeling.png]]

De weergave van relaties tussen q, k en u in de vorm van lijndiagrammen wordt in de verkeerskunde het ''basisdiagram'' of ''fundamentele diagram'' genoemd. In het diagram zijn vijf parameters aangegeven die bepalend zijn voor het gedrag van het verkeer:

* Maximale intensiteit (qcrit), ook wel de ''capaciteit''. Voor de snelwegen in Nederland geldt een vuistregel van ca. 2.200 voertuigequivalenten/uur/rijstrook.
* Kritische dichtheid (kcrit). Dit is de dichtheid bij maximale intensiteit.
* Kritische snelheid (ucrit). Dit is de snelheid bij capaciteitsdoorstroming, oftewel de snelheid waarbij de weg het meest efficient wordt gebruikt. In het algemeen wordt deze waarde op circa 90km/u geschat.
* Maximale dichtheid (kjam). Dit is de maximaal mogelijke dichtheid op een weg. Hierbij staat de weg helemaal vol met voertuigen (''traffic jam'') en is de snelheid zeer laag.
* Vrije snelheid (u0). Dit is de gemiddelde snelheid bij ongehinderde doorstroming. Dit is de richtingscoëfficient van het q(k)-diagram in de oorsprong.

De groene stippellijn in het diagram laat zien hoe de maximale intensiteit (qcrit) correspondeert met de kritische snelheid (ucrit) en de bijbehorende kritische dichtheid (kcrit). De blauwe stippellijn markeert een toestand waarbij het verkeersaanbod nog ruim onder de capaciteit ligt; de rode stippellijn een toestand waarbij die capaciteit is overschreden en filevorming begint. Merk op dat in beide toestanden de intensiteit lager is dan qcrit.
== Notatie ==
De lettersymbolen voor de variabelen in het verkeersstroommodel komen grotendeels overeen met de beginletter van de Engelse benaming:

* q ''quantity'' (intensiteit)
* s ''spacing'' (voertuigafstand)
* h ''headway'' (volgtijd)

Voor snelheid wordt de letter u gebruikt in plaats van de gebruikelijke letter v (van ''velocity'') om te benadrukken dat het niet om de snelheid van één voertuig gaat, maar om het gemiddelde over alle voertuigen op het wegvak.
<noinclude>

==Zie ook==
* [[Oefeningen:Verkeersstroommodel]]
* [[Excel:Verkeersstroommodel|Verkeersstroommodel en fundamenteel diagram in Excel]]
* [https://sysmod.tbm.tudelft.nl/vsm/verkeersstroom.html Verkeersstroommodel in actie] - een animatie die het fundamentele diagram illustreert.

[[Categorie:Canon]]
</noinclude>

Excel:Kansverdelingen

2025-01-21T11:24:16Z

AlexanderVerbraeck: /* Implementatie */

Uitwerking met uitgebreide toelichting in [[Special:AllPages/Excel:|Excel]] van vijf van de [[Kansverdeling|theoretische kansverdelingen]] die je voor het vak ''Systeemmodellering 1'' moet kennen (U, T, B, Exp, Poisson).

In deze uitwerking wordt ook uitgelegd hoe je een [[Staafdiagram#Histogram|histogram]] maakt dat zich automatisch aanpast als de dataset verandert.

[[Bestand:Kansverdelingen.xlsx]]

Zie voor de uitleg van onderstaande formules ook de toelichting in de paragraaf "[[Kansverdeling#Toevalsgetallen_genereren_in_Excel|Toevalsgetallen genereren in Excel]]".

== Implementatie ==

{| class="wikitable unsortable"
!Verdeling||Notatie||Excel-notatie NL||Excel-notatie EN
|-
|Uniform||U(a, b)||='''a'''+ASELECT()*('''b'''-'''a''')||='''a'''+RAND()*('''b'''-'''a''')
|-
|Binomiaal||B(n, p)||=BINOMIALE.INV('''n'''; '''p'''; ASELECT())||=BINOM.INV('''n''', '''p''', RAND())
|-
|Negatief-exponentieel||Exp(λ)||=-LN(ASELECT())/'''λ'''||=-LN(RAND())/'''λ'''
|-
|Poisson (benadering met Binomiale verdeling)||Pois(λ)||=BINOMIALE.INV(1000; '''λ'''/1000; ASELECT())||=BINOM.INV(1000, '''λ'''/1000, RAND())
|-
|Driehoek, symmetrisch tussen -1 en 1||T(-1, 1) (= U(0, 1) - U(0, 1))||=ASELECT()-ASELECT()||=RAND()-RAND()
|-
|Driehoek, symmetrisch tussen a en b||T(a, b)||=('''a'''+'''b''')/2+('''b'''-'''a''')*(ASELECT()-ASELECT())/2||=('''a'''+'''b''')/2+('''b'''-'''a''')*(RAND()-RAND())/2
|-
|Driehoek, eenzijdig aflopend||T(a, a, b)||='''a'''+ABS(ASELECT()-ASELECT())*('''b'''-'''a''')||='''a'''+ABS(RAND()-RAND())*('''b'''-'''a''')
|-
|Driehoek||T(a, m, b)||=ALS(ASELECT() < ('''m'''-'''a''')/('''b'''-'''a'''); '''m''' - ABS(ASELECT()-ASELECT())*('''m'''-'''a'''); '''m''' + ABS(ASELECT()-ASELECT())*('''b'''-'''m'''))||=IF(RAND() < ('''m'''-'''a''')/('''b'''-'''a'''), '''m''' - ABS(RAND()-RAND())*('''m'''-'''a'''), '''m''' + ABS(RAND()-RAND())*('''b'''-'''m'''))
|}

[[Categorie:Probabilistische modellen]]

Excel:Kansverdelingen

2025-01-11T21:28:45Z

AlexanderVerbraeck:

Uitwerking met uitgebreide toelichting in [[Special:AllPages/Excel:|Excel]] van vijf van de [[Kansverdeling|theoretische kansverdelingen]] die je voor het vak ''Systeemmodellering 1'' moet kennen (U, T, B, Exp, Poisson).

In deze uitwerking wordt ook uitgelegd hoe je een [[Staafdiagram#Histogram|histogram]] maakt dat zich automatisch aanpast als de dataset verandert.

[[Bestand:Kansverdelingen.xlsx]]

Zie voor de uitleg van onderstaande formules ook de toelichting in de paragraaf "[[Kansverdeling#Toevalsgetallen_genereren_in_Excel|Toevalsgetallen genereren in Excel]]".

== Implementatie ==

{| class="wikitable unsortable"
!Verdeling||Notatie||Excel-notatie NL||Excel-notatie EN
|-
|Uniform||U(a, b)||='''a'''+ASELECT()*('''b'''-'''a''')||='''a'''+RAND()*('''b'''-'''a''')
|-
|Binomiaal||B(n, p)||=BINOMIALE.INV('''n'''; '''p'''; ASELECT())||=BINOM.INV('''n''', '''p''', RAND())
|-
|Negatief-exponentieel||Exp(λ)||=-LN(ASELECT())/'''λ'''||=-LN(RAND())/'''λ'''
|-
|Poisson (benadering met Binomiale verdeling)||Pois(λ)||=BINOMIALE.INV(1000; '''λ'''/1000; ASELECT())||=BINOM.INV(1000, '''λ'''/1000, RAND())
|-
|Driehoek, symmetrisch tussen -1 en 1||T(-1, 1) (= U(0, 1) - U(0, 1))||=ASELECT()-ASELECT()||=RAND()-RAND()
|-
|Driehoek, symmetrisch tussen a en b||T(a, b)||=('''a'''+'''b''')/2+('''b'''-'''a''')*(ASELECT()-ASELECT())/2||=('''a'''+'''b''')/2+('''b'''-'''a''')*(RAND()-RAND())/2
|-
|Driehoek, eenzijdig aflopend||T(a, a, b)||='''a'''+ABS(ASELECT()-ASELECT())*('''b'''-'''a''')||='''a'''+ABS(RAND()-RAND())*('''b'''-'''a'''))
|-
|Driehoek||T(a, m, b)||=ALS(ASELECT() < ('''m'''-'''a''')/('''b'''-'''a'''); '''m''' - ABS(ASELECT()-ASELECT())*('''m'''-'''a'''); '''m''' + ABS(ASELECT()-ASELECT())*('''b'''-'''m'''))||=IF(RAND() < ('''m'''-'''a''')/('''b'''-'''a'''), '''m''' - ABS(RAND()-RAND())*('''m'''-'''a'''), '''m''' + ABS(RAND()-RAND())*('''b'''-'''m'''))
|}

[[Categorie:Probabilistische modellen]]

Wet van Little

2024-12-19T21:11:40Z

AlexanderVerbraeck: /* Voorbeeld */

De '''Wet van Little''' is de behoudsvergelijking voor elk stabiel [[wachtrijmodel]] of wachtrijsysteem. Het geeft een verband tussen het gemiddeld aantal klanten in het systeem ''L'', de gemiddelde verblijftijd in het systeem ''w'', en het gemiddelde aantal klanten λ dat per tijdseenheid aankomt:

''L'' = λ . ''w''

De formule geeft aan dat het gemiddeld aantal klanten in het systeem gelijk is aan het aantal dat aankomt in een bepaalde periode maal hun verblijfstijd in het systeem.

Als we ook het gemiddelde aantal klanten dat we per tijdseenheid kunnen helpen in het systeem μ kennen, dan kunnen we ook iets zeggen over de wachttijd ''wQ'' en het gemiddeld aantal wachtenden ''LQ'':

''LQ'' = λ . ''wQ'', waarbij ''wQ'' = ''w'' - 1 / μ, dus ''LQ'' = λ . (''w'' - 1 / μ)

== Voorbeeld ==

Stel dat er bij een incheckbalie gemiddeld 100 klanten per uur aankomen in een systeem, en ze gemiddeld 1/5 uur (12 minuten) in het incheckgebied zijn. Dan zijn er volgens de Wet van Little gemiddeld (100 . 1/5) = 20 klanten in het systeem.

Stel dat het gemiddeld aantal klanten dat je kan helpen per uur in het systeem gelijk is aan 120 (dus ruim meer dan de 100 klanten die per uur aankomen). De gemiddelde wachttijd ''wQ'' is dan gelijk aan ''w'' - 1 / μ = 1/5 - 1/120 uur = 23/120 uur = 11.5 minuten. Het gemiddeld aantal klanten dat aan het wachten is, is ''LQ'' = λ . ''wQ'' = 100 . 23/120 = 19.17 wachtende klanten.

Let op dat het aantal klanten dat je kan helpen omgekeerd evenredig is met de bedieningstijd. Bij één bedieningsbalie betekent dat in het bovenstaande voorbeeld dat je gemiddeld 0.5 minuut (1/120 uur) bezig bent met het inchecken van een klant. De gemiddeld 12 minuten verblijftijd per klant bestaat uit gemiddeld een halve minuut bediening en 11.5 minuten wachten.

'''Merk op:'''
# het is erg belangrijk om een onderscheid te maken tussen het ''gemiddeld aantal personen dat je per tijdseenheid kan bedienen'' (μ) en de gemiddelde bedieningstijd per persoon (1 / μ).
# het is erg belangrijk om een onderscheid te maken tussen het ''gemiddeld aantal aankomsten per tijdseenheid'' (λ) en de gemiddelde tussenaankomsttijd; dat is de gemiddelde tijd tussen twee opeenvolgende aankomsten (1 / λ).
# zorg er voor dat je alles in dezelfde tijdseenheid doet. Dus per minuut, per uur of per dag -- maar mix ze niet in de berekeningen.

== Zie ook ==
* [[Aankomstproces]]
* [[Wachtrijmodel]]

[[Categorie:Canon]]
[[Categorie:Probabilistische modellen]]

Wet van Little

2024-12-19T21:10:11Z

AlexanderVerbraeck:

De '''Wet van Little''' is de behoudsvergelijking voor elk stabiel [[wachtrijmodel]] of wachtrijsysteem. Het geeft een verband tussen het gemiddeld aantal klanten in het systeem ''L'', de gemiddelde verblijftijd in het systeem ''w'', en het gemiddelde aantal klanten λ dat per tijdseenheid aankomt:

''L'' = λ . ''w''

De formule geeft aan dat het gemiddeld aantal klanten in het systeem gelijk is aan het aantal dat aankomt in een bepaalde periode maal hun verblijfstijd in het systeem.

Als we ook het gemiddelde aantal klanten dat we per tijdseenheid kunnen helpen in het systeem μ kennen, dan kunnen we ook iets zeggen over de wachttijd ''wQ'' en het gemiddeld aantal wachtenden ''LQ'':

''LQ'' = λ . ''wQ'', waarbij ''wQ'' = ''w'' - 1 / μ, dus ''LQ'' = λ . (''w'' - 1 / μ)

== Voorbeeld ==

Stel dat er bij een incheckbalie gemiddeld 100 klanten per uur aankomen in een systeem, en ze gemiddeld 1/5 uur (12 minuten) in het incheckgebied zijn. Dan zijn er volgens de Wet van Little gemiddeld (100 . 1/5) = 20 klanten in het systeem.

Stel dat het gemiddeld aantal klanten dat je kan helpen per uur in het systeem gelijk is aan 120 (dus ruim meer dan de 100 klanten die per uur aankomen). De gemiddelde wachttijd ''wQ'' is dan gelijk aan ''w'' - 1 / μ = 1/5 - 1/120 uur = 23/120 uur = 11.5 minuten. Het gemiddeld aantal klanten dat aan het wachten is, is ''LQ'' = λ . ''wQ'' = 100 . 23/120 = 19.17 wachtende klanten.

Let op dat het aantal klanten dat je kan helpen omgekeerd evenredig is met de bedieningstijd. Bij één bedieningsbalie betekent dat in het bovenstaande voorbeeld dat je gemiddeld 0.5 minuut (1/120 uur) bezig bent met het inchecken van een klant. De gemiddeld 12 minuten verblijftijd per klant bestaat uit gemiddeld een halve minuut bediening en 11.5 minuten wachten...

'''Merk op:'''
# het is erg belangrijk om een onderscheid te maken tussen het ''gemiddeld aantal personen dat je per tijdseenheid kan bedienen'' (μ) en de gemiddelde bedieningstijd per persoon (1 / μ).
# het is erg belangrijk om een onderscheid te maken tussen het ''gemiddeld aantal aankomsten per tijdseenheid'' (λ) en de gemiddelde tussenaankomsttijd; dat is de gemiddelde tijd tussen twee opeenvolgende aankomsten (1 / λ).
# zorg er voor dat je alles in dezelfde tijdseenheid doet. Dus per minuut, per uur of per dag -- maar mix ze niet in de berekeningen.

== Zie ook ==
* [[Aankomstproces]]
* [[Wachtrijmodel]]

[[Categorie:Canon]]
[[Categorie:Probabilistische modellen]]

Kansverdeling

2024-12-17T00:35:06Z

AlexanderVerbraeck: /* Driehoeksverdeling */

De '''kansverdeling''' van een [[stochast]] X is een functie die voor een gegeven waarde x aangeeft hoe groot de kans is dat X = x.

Een kans wordt uitgedrukt als een reëel getal op het interval [0, 1], waarbij 0 aangeeft dat X nooit waarde x zal hebben, en 1 aangeeft dat X altijd waarde x zal hebben. In dat laatste geval is X uiteraard geen stochastische variabele meer.

== Notatie ==
Een kansverdeling wordt doorgaans aangegeven met de hoofdletter P (de beginletter van het Engelse woord ''probability'').

Voor [[Stochast|stochastische variabelen]] met een discreet [[Domein van een variabele|waardebereik]] kun je de kans op elke discrete waarde aangeven, bijvoorbeeld

:P(X = x) = ⅙   (x ∈ {1, ..., 6})

als de stochast X een zuivere zeszijdige dobbelsteen representeert. Zie ook deze videoclip op [http://youtu.be/vS9r7Say5Qk YouTube].

Voor stochasten met een continu waardebereik kun je de kans aangeven dat de waarde van de stochast op een bepaald interval binnen dat waardebereik ligt, bijvoorbeeld

:P(X ≤ x) = (x − 1) / 4   (x ∈ [1,5])

om aan te geven dat de stochast X [[Kansverdeling#Uniforme verdeling|uniform verdeeld]] is op het interval [1,5].

== Kans en kansdichtheid ==
Voor een stochast X met een continu domein is de kans dat X ''exact'' gelijk is aan één specifieke waarde x ∈ ℝ nul. Daarom wordt voor continue kansverdelingen de '''kansdichtheid''' p(x) gedefinieerd als een continue functie p(x): ℝ → ℝ. De kans dat de waarde van de stochast X binnen een bepaald interval [''a'', ''b''] ligt is dan gelijk aan de integraal op dat interval over de dichtheidsfunctie:

:[[Bestand:kansverdelingAlsIntegraal.png]]

Dichtheidsfuncties worden altijd zo gedefinieerd dat de integraal over de dichtheid op interval [-∞, ∞] precies gelijk aan 1 is.

Als je de dichtheid in een [[lijndiagram]] weergeeft is de kans P(''a'' ≤ X ≤ ''b'') dus gelijk aan het oppervlak onder de lijn tussen ''a'' en ''b'':

[[Bestand:kansEnDichtheid.png]]

Bovenstaande figuur illustreert meteen dat P(''a'' ≤ X ≤ ''b'') (het rode oppervlak) gelijk is aan P(X ≤ ''b'') − P(X ≤ ''a'').

'''Merk op:''' Je kunt natuurlijk ook voor een stochast X met een ''discreet'' domein de kans dat X ∈ [''a'', ''b''] berekenen. Die kans is dan gelijk aan de som van de kansen P(X = x) over alle x ∈ [''a'', ''b'']. De [[Kansverdeling#Binomiale verdeling|binomiale verdeling]] is hiervan een mooi voorbeeld.

== Veelgebruikte kansverdelingen ==
De [[Typologie van modellen#Deterministish versus probabilistisch|probabilistische modellen]] die we binnen het vak Systeemmodellering behandelen maken gebruik van zeven gangbare kansverdelingen. Van elk van deze verdelingen laten we een grafiek zien van de dichtheidsfunctie p(x) en de kansverdeling P(X ≤ x). Deze grafieken laten telkens mooi zien dat de kansverdeling de integraal (en bij discrete verdelingen de som) over de dichtheid is.

=== Uniforme verdeling ===
De '''uniforme verdeling''' op een interval [''a'', ''b''] wordt genoteerd als '''U(''a'', ''b'')'''. Zoals de naam al zegt is bij deze verdeling de kans op elke waarde hetzelfde. Om aan te geven dat stochast X uniform verdeeld is op het interval [0,1], schrijf je X ~ U(0, 1).

{|
| '''Kansdichtheid''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:uniformeVerdelingDichtheid.png]] ||  || [[Bestand:uniformeVerdeling.png]]
|}

=== Driehoeksverdeling ===
De '''driehoeksverdeling''' gebruik je wanneer je te weinig empirische gegevens hebt om de kansverdeling van een stochast X te bepalen, maar toch een idee hebt van de onder- en bovengrens, en je bovendien een ''educated guess'' durft te doen wat betreft de meest waarschijnlijke (dus meest voorkomende) waarde van X, ook wel de ''modus'' genoemd. Deze drie waarden zijn dan de parameters ''a'', ''b'' en ''m'' van de verdeling.

Er bestaat geen officiële standaardnotatie voor de driehoeksverdeling, maar vaak wordt de hoofdletter T (van ''triangular'') gebruikt. Om aan te geven dat stochast X een driehoeksverdeling heeft schrijf je X ~ '''T(''a'', ''m'', ''b'')'''. In plaats van alleen de letter T wordt ook wel ''Tri'' of voluit ''Triangular'' geschreven.

De driehoeksverdeling wordt vaak gebruikt om de duur van een handeling te modelleren, bijvoorbeeld de behandeltijd in een [[wachtrijmodel]]. Als parameters ''a'', ''b'' en ''m'' neem je dan respectievelijk de kortst denkbare duur, de langst denkbare duur, en de meest waarschijnlijke duur van een handeling.

Een eenvoudige variant is de ''symmetrische'' driehoeksverdeling, waar ''m'' midden tussen ''a'' en ''b'' in ligt. Deze verdeling is vaak bruikbaar als redelijke benadering van de normale verdeling (zie hierna).

{|
| '''Kansdichtheid''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:driehoeksverdelingDichtheid.png]] ||   || [[Bestand:driehoeksverdeling.png]]
|}

=== Normale (of standaard-normale) verdeling ===
Om aan te geven dat stochast X normaal verdeeld is schrijf je X ~ '''N(''μ'', ''σ''2)'''. Dit wil zeggen dat bij oneindig veel waarden van X het ''gemiddelde'' van die waarden van X gelijk zal zijn aan μ, en de standaarddeviatie van die waarden gelijk zal zijn aan σ (zie [[Beschrijvende statistiek]]).
{|
| '''Kansdichtheid''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:normaleVerdelingDichtheid.png]] ||   || [[Bestand:normaleVerdeling.png]]
|}
Voor modelleerdoeleinden is de normale verdeling vaak minder geschikt, doordat de kans bestaat dat extreme waarden worden gegenereerd, zoals mensen met een lengte van 2,8 m of zelfs -15 cm. Een driehoeksverdeling is in de meeste gevallen een goede benadering.

=== Negatief-exponentiële verdeling ===
De '''negatief-exponentiële verdeling''' (ook wel exponentiële verdeling genoemd; notatie '''Exp(''λ'')''') gebruik je typisch bij het modelleren van een [[aankomstproces]] in een [[continuetijdmodel]]. Bij een aankomstproces wordt de tijd tussen twee opeenvolgende aankomsten (tussenaankomsttijd; Engels: ''inter-arrival time'') door een stochastische variabele weergegeven. Die stochast kan elke continue kansverdeling op het interval [0, ∞) hebben, maar de negatief-exponentiële kansverdeling is het meest gebruikelijk. Met de parameter λ kun je de gemiddelde aankomstfrequentie instellen. De verdeling heeft een lange "staart", wat er voor zorgt dat de volgende aankomst soms ook heel lang op zich laat wachten.

(Verwar '''Exp(''λ'')''' niet met '''exp(''λ'')''', de [[Functievoorschrift|alternatieve notatie]] voor '''e''λ'''''; dit is een voorbeeld van een onderscheidend verschil tussen [[Representatie_van_variabelen|kapitalen en onderkastletters]].)
{|
| '''Kansdichtheid''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:negExpVerdelingDichtheid.png]] ||   || [[Bestand:negExpVerdeling.png]]
|}

=== Poissonverdeling ===
De '''Poissonverdeling''' gebruik je om discrete fenomenen te modelleren (gebeurtenissen die een heeltallig aantal keer optreden gedurende een gegeven tijdsinterval of in een bepaald gebied), waarbij de kans op zo'n fenomeen constant is. Notatie: '''Poisson(''λ'')''' of '''Pois(''λ'')'''. Voorbeelden:

* het aantal voertuigen op een weg dat in een uur een referentiepunt passeert (zie [[Verkeersstroommodel]])
* het aantal keren op een dag dat je telefoon gaat
* het aantal spelfouten dat je op één pagina maakt
* het aantal lege koffiebekertjes dat je na een pauze in de kantine aantreft
* het aantal atoomkernen van een radioactieve stof dat in een bepaalde tijd vervalt

Het gemiddelde aantal is dan de enige parameter λ van de Poissonverdeling.

{|
| '''Kansfunctie''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:poissonverdelingDichtheid.png]] ||   || [[Bestand:poissonverdeling.png]]
|}

Bij een willekeurig aankomstproces is de tussentijd tussen gebeurtenissen (aankomsten) negatief exponentieel verdeeld en beschrijft de Poissonverdeling de kans op een bepaald aantal gebeurtenissen in een tijdsinterval.
Ook bij een binomiale verdeling Bin(1, p) met kleine p is de tussentijd tussen de gebeurtenissen negatief exponentieel verdeeld.
Deze verdeling kan dus ook gebruikt worden bij een willekeurig aankomstproces.
De voorwaarde is dat p klein genoeg is, zodat de kans op meer dan één gebeurtenis per tijdstap verwaarloosbaar is.

=== Binomiale verdeling ===
De '''Binomiale verdeling''' de geeft de kansverdeling weer van het aantal "successen" X in een reeks van ''n'' onafhankelijke experimenten waarbij elk experiment precies twee mogelijke uitkomsten heeft (1 = succes, 0 = mislukking) en de kans op succes voor elk experiment gelijk is aan ''p''. Omdat het [[Domein van een variabele|domein]] van de [[stochast]] X gelijk is aan {0, 1, ..., ''n''} is de binomiale verdeling een ''discrete'' kansverdeling. Om aan te geven dat een stochast X binomiaal verdeeld is schrijf je X ~ '''B(''n'', ''p'')''' of X ~ '''Bin(''n'', ''p'')'''. De onderstaande reeks grafieken, voor p = ½, laat zien hoe als ''n'' toeneemt de vorm van de binominale verdeling steeds meer op die van de normale verdeling gaat lijken.

[[Bestand:binominaleverdelingen.png]]

=== Empirische verdeling ===
Een '''empirische verdeling''' gebruik je wanneer je veel empirische gegevens hebt over een [[stochast]], maar deze gegevens niet goed passen bij een theoretische kansverdeling (zoals de hiervóór beschreven kansverdelingen). In plaats van zo'n theoretische kansverdeling gebruik je dan een "trapfunctie" die je bepaalt op basis van je [[gegevensverzameling]] met waarden {''w1'', ..., ''wN''} volgens deze formule:

[[Bestand:EmpirischeVerdeling.png]]

N.B. Hierin betekent #{ ''i'' | ''wi'' ≤ ''x''} het aantal waarden in de gegevensverzameling dat kleiner of gelijk is aan ''x''.

<big>'''Voorbeeld'''</big>

Stel dat je gedurende vier weken het aantal mails dat je per dag ontvangt hebt geteld en dat je gegevensverzameling er zo uit ziet:

{3, 0, 7, 13, 8, 5, 11, 5, 15, 14, 2, 0, 19, 6, 6, 14, 13, 5, 11, 1, 4, 1, 19, 16, 3, 12, 13, 5}

Het [[Staafdiagram#Histogram|histogram]] van deze gegevensverzameling laat geen patroon zien dat duidelijk overeenkomt met een bekende verdeling:

[[Bestand:HistogramAantalMails.png]]

Als je het aantal mails per dag toch als een stochast M wilt modelleren, dan zou je deze empirische verdeling kunnen gebruiken:

[[Bestand:EmpirischeVerdeling.png]]   [[Bestand:EmpirischeVerdelingAantalMails.png]]

Onderstaande tabellen plus histogram beschrijven een verzameling van 1000 toevalsgetallen die uit deze empirische verdeling zijn getrokken:

{|
| [[Bestand:TabelAantalMailsSimulatie.png]] || width="40" | || valign="top" | [[Bestand:HistogramAantalMailsSimulatie.png]]
|}

'''Merk op:'''
# De waarden 9, 10, 17, 18, 20 en 21 komen niet voor in de empirische gegevensverzameling, en daarom ook niet in de verzameling toevalsgetallen.
# De vorm van de verdeling in het tweede histogram komt redelijk overeen met die in het eerste.
# Niettemin is het mogelijk dat het model waarin je deze empirische verdeling gebruikt niet [[Modelleercyclus#Verificatie en validatie|valide]] is omdat de gegevensverzameling waar deze verdeling op is gebaseerd erg klein is (N = 28). Als je nog een paar weken langer het aantal mails per dag zou tellen zouden de "gaten" tussen 8 en 11 en tussen 16 en 19 waarschijnlijk ook gevuld worden. Je zou dan misschien ook een betere "fit" vinden met bijvoorbeeld een Poissonverdeling.

== Toevalsgetallen genereren in Excel ==
Wanneer je in een [[operationeel model]] een of meer [[Stochast|stochastische variabelen]] gebruikt moet je voor die variabelen aangeven welke kansverdeling er bij hoort. Wanneer je dat model vervolgens wilt omzetten in een [[computationeel model]] zul je moeten aangeven hoe de waarden van de stochasten als toevalsgetallen uit hun verdelingen getrokken moeten worden. Hieronder leggen we uit hoe je dat in Excel kunt doen.

De bijbehorende Excel-functies zijn de vinden op '''[[Excel:Kansverdelingen]]'''.

De enige verdeling waaruit je in Excel met één [[Excel:Functienamen|functie]] een toevalsgetal kunt trekken is de '''standaard uniforme verdeling''' U(0, 1). Die functie is <tt>RAND()</tt>. Telkens wanneer je de functie <tt>RAND()</tt> aanroept krijg je dus een toevalsgetal tussen 0 en 1.

Voor alle andere kansverdelingen heb je de ''inverse functie'' van de kansverdeling P nodig. Zoals hiervóór is uitgelegd geeft de kansverdeling P(X = x) voor ieder getal x de kans dat stochast X de waarde x heeft als een getal tussen 0 en 1. Nu gaan we dit omdraaien: stel dat je een toevalsgetal y tussen 0 en 1 hebt getrokken, welk getal x hoort daarbij zodanig dat P(X = x) = y? Die waarde wordt berekend door de ''inverse'' van P (notatie: P-1).

De inverse functie van de '''negatief exponentiële verdeling''' is eenvoudig, waardoor je een stochast met deze verdeling in Excel kunt genereren met de LN-functie. Omdat λ de gemiddelde aankomstfrequentie weergeeft wordt gedeeld door λ want hoe groter de aankomstfrequentie, hoe korter de gemiddelde tijd tussen twee aankomsten.

Voor de '''binomiale verdeling''' gebruik je de ingebouwde inverse verdeling van Excel.

Voor een '''Poisson-verdeling''' kun je een wiskundige truc toepassen. Bij grote aantallen trekkingen en kleine kansen (n → ∞ en p → 0) lijkt de binomiale verdeling namelijk heel sterk op de Poisson-verdeling. Dit kun je gebruiken om een Poisson-verdeling na te bootsen.

De '''symmetrische driehoeksverdeling''' kan worden gegenereerd met twee uniform verdeelde getallen. Je begint bij het midden van het interval, telt daar een uniform verdeeld toevalsgetal tussen 0 en de halve breedte van de verdeling bij op, en trekt er een uniform verdeeld toevalsgetal tussen 0 en de halve breedte van de verdeling van af.

Hoe je een stochast met een empirische kansverdeling in Excel implementeert wordt uitgelegd in deze [[:Excel:Empirische verdeling|uitwerking van de empirische verdeling]].

Als je model stochasten bevat, zul je ook je [[Experimenteel_ontwerp#Experimenteel_ontwerp_voor_een_probabilistisch_model|experimenteel ontwerp]] hierop moeten afstemmen.
<noinclude>

== Zie ook ==
* Deze videoclips op YouTube: [http://youtu.be/vS9r7Say5Qk Kansen op discrete gebeurtenissen] en [http://youtu.be/FvgeZTUGF_E Discrete kansverdelingen].
* [[Aankomstproces]]
* [[Beschrijvende statistiek]]
* [[Staafdiagram#Histogram|Histogram]]
* [[Kansrekening]]
* [[Risico]]
* [[Stochast]]
* [[Oefeningen:Kansverdeling]]

[[Categorie:Canon]]
[[Categorie:Definities]]
[[Categorie:Probabilistische modellen]]
</noinclude>

Bestand:DriehoeksverdelingDichtheid.png

2024-12-17T00:32:42Z

AlexanderVerbraeck: AlexanderVerbraeck heeft een nieuwe versie van Bestand:DriehoeksverdelingDichtheid.png geüpload

2024-12-12T16:57:09Z

AlexanderVerbraeck:

De '''Wet van Little''' is de behoudsvergelijking voor elk stabiel [[wachtrijmodel]] of wachtrijsysteem. Het geeft een verband tussen het gemiddeld aantal klanten in het systeem ''L'', de gemiddelde verblijfstijd in het systeem ''w'', en het gemiddelde aantal klanten λ dat per tijdseenheid aankomt:

''L'' = λ . ''w''

De formule geeft aan dat het gemiddeld aantal klanten in het systeem gelijk is aan het aantal dat aankomt in een bepaalde periode maal hun verblijfstijd in het systeem.

Als we ook het gemiddelde aantal klanten dat we per tijdseenheid kunnen helpen in het systeem μ kennen, dan kunnen we ook iets zeggen over de wachttijd ''wQ'' en het gemiddeld aantal wachtenden ''LQ'':

''LQ'' = λ . ''wQ'', waarbij ''wQ'' = ''w'' - 1 / μ, dus ''LQ'' = λ . (''w'' - 1 / μ)

== Voorbeeld ==

Stel dat er bij een incheckbalie gemiddeld 100 klanten per uur aankomen in een systeem, en ze gemiddeld 12 minuten in het incheckgebied zijn (1/5 uur). Dan zijn er gemiddeld (100 . 1/5) = 20 klanten in het systeem.

Stel dat het gemiddeld aantal klanten dat je kan helpen per uur in het systeem gelijk is aan 12. De gemiddelde wachttijd ''wQ'' is dan gelijk aan ''w'' - 1 / μ = 1/5 - 1/12 uur = 7/60 uur = 7 minuten. Het gemiddeld aantal klanten dat aan het wachten is, is ''LQ'' = λ . ''wQ'' = 100 . 7/60 = 11.67.

Let op dat het aantal klanten dat je kan helpen omgekeerd evenredig is met de bedieningstijd. Bij &eacc;&eacc;n bedieningsbalie betekent dat in het bovenstaande voorbeeld dat je gemiddeld 5 minuten (1/12 uur) bezig bent met het inchecken van een klant. De gemiddeld 12 minuten verblijftijd per klant bestaat uit gemiddeld 5 minuten bediening en 7 minuten wachten.

== Zie ook ==
* [[Aankomstproces]]
* [[Wachtrijmodel]]

[[Categorie:Canon]]
[[Categorie:Probabilistische modellen]]

Wet van Little

2024-12-12T15:58:58Z

AlexanderVerbraeck:

De '''Wet van Little''' is de behoudsvergelijking voor elk stabiel [[Wachtrijmodel]]. Het geeft een verband tussen het gemiddeld aantal klanten in het systeem ''L'', de gemiddelde verblijfstijd in het systeem ''w'', en het gemiddelde aantal klanten λ dat per tijdseenheid aankomt:

''L'' = λ . ''w''

De formule geeft aan dat het gemiddeld aantal klanten in het systeem gelijk is aan het aantal dat aankomt maal hun verblijfstijd in het systeem. Stel dat er gemiddeld 10 klanten per uur aankomen in een systeem, en ze gemiddeld een half uur in het systeem blijven. Dan zijn er gemiddeld

== Zie ook ==
* [[Aankomstproces]]
* [[Wachtrijmodel]]

[[Categorie:Canon]]
[[Categorie:Probabilistische modellen]]

2024-12-09T08:11:08Z

AlexanderVerbraeck: /* Week 1 – Systeemmodellering en de ModelleerEstafette */

Per week verzorgen de docenten voor ''Systeemmodellering 1'' twee colleges en een computerpracticum. Deze pagina is bedoeld om je te helpen je goed op deze colleges voor te bereiden.

<div class="noautonum">__TOC__</div>

==Week 1 – Systeemmodellering==

Lezen ter voorbereiding

[[Systeem]] • [[Model]] • [[Representatie]] • [[Modelleercyclus]] • [[Onderzoeksvraag]] • [[Systeemafbakening]] • [[Ockham]] • [[Conceptueel model]] • [[Operationeel model]] • [[Variabele]] • [[Computationeel model]] • [[Modelschema]]

Lezen om bij te blijven

[[Causalerelatiediagram]] • [[Doelenboom]] • [[Multicriteriamodel]] • [[Beslismodel]] ← ''modellen uit'' '''Inleiding Probleemanalyse''' (TB112)

 

==Week 2 – Dynamische modellen==

Lezen ter voorbereiding

[[Computationeel model]] • [[Cybernetisch model]] • [[Discretetijdmodel]] • [[Grootheid]] • [[Notatie van vergelijkingen]] • [[Parameter]] • [[Toestandsdiagram]] • [[Variabele]] • [[Verificatie en validatie]] • [[Voorraad-stroomdiagram]]

Lezen om bij te blijven

[[Dimensieanalyse]] • [[Experimenteel ontwerp]] • [[Gevoeligheidsanalyse]] • [[Modelschema]] • [[Representatie]] • [[Representatie van variabelen]] • [[Tijdreeks]] • [[Verkeersstroommodel]] • [[Voorwaarden voor effectieve besturing]]

 

==Week 3 – Modelvergelijkingen opstellen==

Bekijken ter voorbereiding

[http://youtu.be/QNSm2QZmIRI Kennisclip over verzamelingenleer] ← ''doe dit vóór het college, want dit is voorkennis!

Lezen ter voorbereiding

[[Operationeel model]] • [[Variabele]] • [[Domein van een variabele]] • [[Parameter]] • [[Functievoorschrift]] • [[Notatie van vergelijkingen]] • [[Verificatie en validatie|Verificatie]] • [[Dimensieanalyse]] • [[Modelschema]] • [[Verzameling]] • [[Relatie]] • [[Venndiagram]] • [[Logische symbolen]] • [[Booleaanse algebra]]

Lezen om bij te blijven

[[Grootheid]] • [[Eenheid]] • [[Dimensie]] • [[Schaal]] • [[Beschrijvende statistiek]] • [[Representatie]] • [[Representatie van variabelen]] • [[Continuetijdmodel]] • [[Discretetijdmodel]]

 

==Week 4 – Modelimplementatie in Excel ==

Lezen ter voorbereiding

[[Aggregatie]] • [[Booleaanse algebra]] • [[Computationeel model]] • [[Excel:Vergelijkingen_implementeren|implementatie in Excel]] • [[Gevoeligheidsanalyse]] • [[Experimenteel ontwerp]] • [[Binaire getallen]] • [[Significante cijfers]] • [[Tabel|Representatie in tabellen]] • [[Voorwaarden voor effectieve besturing]]

Lezen om bij te blijven

[[Notatie van vergelijkingen]] • [[Logische symbolen]] • [[Discretetijdmodel]] • [[Lijndiagram]] • [[Ockham]] • [[Toestandsdiagram]] • [[Verkeersstroommodel]]

 

==Week 5 – Kansrekening en kansverdeling – Modeltoepassing en interpretatie ==

Lezen ter voorbereiding

[[Kansrekening]] • [[Kansverdeling]] • [[Typologie_van_modellen#Deterministisch_versus_probabilistisch|Probabilistisch model]] • [[Stochast]]

[[Aggregatie#Aggregatie van gegevens|Aggregatie van gegevens]] • [[Beschrijvende statistiek]] • [[Correlatie]] • [[Experimenteel ontwerp]] • [[Gevoeligheidsanalyse]] • [[Simulatie]] • [[Systeemgedrag]] • [[Verificatie en validatie]]

Lezen om bij te blijven

[[Empirische cyclus]] • [[Relatie]]

Zo nodig nogmaals lezen ''(want '''zonder uitleg''' gebruikt in voorbeelden)''

[[Booleaanse algebra]] • [[Diagram]] • [[Gegevensverzameling]] • [[Logische symbolen]] • [[Notatie van vergelijkingen]] • [[Tabel]] • [[Tijdreeks]] • [[Significante cijfers]]

 

==Week 6 – Kansrekening en probabilistische modellen==

Lezen ter voorbereiding

[[Kansverdeling]] • [[Aankomstproces]] • [[Continuetijdmodel]] • [[Discretetijdmodel]] • [[Wachtrijmodel]] • [[Netto contante waarde]]

Zorg er in ieder geval voor te weten wat de notaties U(a, b), T(a, b, c), N(μ, σ²), Bin(n, p), Exp(λ) en Poisson(λ) betekenen.

Lezen om bij te blijven

[[Staafdiagram]] • [[Risico]] • [[Stochast]] • [[Typologie van modellen]]

==Week 7 – Kansverdelingen en wachtrijmodellen==

In de colleges van deze week zullen we verder ingaan op '''continue en discrete probabilistische modellen''', met het oog op de lopende estafette B.

 

==Week 8 – Modellen in de wetenschap==

Lezen ter voorbereiding

[[Empirische cyclus]] • [[Heliocentrisme]] • [[Wetten van Newton]] • [[Evolutietheorie]] • [[Relativiteitstheorie]] • [[Wereldmodel]]

 

==Week 9 – Naar het tentamen==

[[Bestand:tentamen.png|45px]] Vragen over de tentamenstof

Tijdens deze colleges beantwoorden we '''inhoudelijke vragen''' over de [[Speciaal:AllePaginas|tentamenstof]].

Vertel wat je nog niet snapt, dan kunnen wij het verduidelijken.