Systeemmodellering - Gebruikersbijdragen [nl]

Kansverdeling

2025-04-07T10:50:01Z

PatrickSteinmann:

De '''kansverdeling''' van een [[stochast]] X is een functie die voor een gegeven waarde x aangeeft hoe groot de kans is dat X = x.

Een kans wordt uitgedrukt als een reëel getal op het interval [0, 1], waarbij 0 aangeeft dat X nooit waarde x zal hebben, en 1 aangeeft dat X altijd waarde x zal hebben. In dat laatste geval is X uiteraard geen stochastische variabele meer.

== Notatie ==
Een kansverdeling wordt doorgaans aangegeven met de hoofdletter P (de beginletter van het Engelse woord ''probability'').

Voor [[Stochast|stochastische variabelen]] met een discreet [[Domein van een variabele|waardebereik]] kun je de kans op elke discrete waarde aangeven, bijvoorbeeld

:P(X = x) = ⅙   (x ∈ {1, ..., 6})

als de stochast X een zuivere zeszijdige dobbelsteen representeert. Zie ook deze videoclip op [http://youtu.be/vS9r7Say5Qk YouTube].

Voor stochasten met een continu waardebereik kun je de kans aangeven dat de waarde van de stochast op een bepaald interval binnen dat waardebereik ligt, bijvoorbeeld

:P(X ≤ x) = (x − 1) / 4   (x ∈ [1,5])

om aan te geven dat de stochast X [[Kansverdeling#Uniforme verdeling|uniform verdeeld]] is op het interval [1,5].

== Kans en kansdichtheid ==
Voor een stochast X met een continu domein is de kans dat X ''exact'' gelijk is aan één specifieke waarde x ∈ ℝ nul. Daarom wordt voor continue kansverdelingen de '''kansdichtheid''' p(x) gedefinieerd als een continue functie p(x): ℝ → ℝ. De kans dat de waarde van de stochast X binnen een bepaald interval [''a'', ''b''] ligt is dan gelijk aan de integraal op dat interval over de dichtheidsfunctie:

:[[Bestand:kansverdelingAlsIntegraal.png]]

Dichtheidsfuncties worden altijd zo gedefinieerd dat de integraal over de dichtheid op interval [-∞, ∞] precies gelijk aan 1 is.

Als je de dichtheid in een [[lijndiagram]] weergeeft is de kans P(''a'' ≤ X ≤ ''b'') dus gelijk aan het oppervlak onder de lijn tussen ''a'' en ''b'':

[[Bestand:kansEnDichtheid.png]]

Bovenstaande figuur illustreert meteen dat P(''a'' ≤ X ≤ ''b'') (het rode oppervlak) gelijk is aan P(X ≤ ''b'') − P(X ≤ ''a'').

'''Merk op:''' Je kunt natuurlijk ook voor een stochast X met een ''discreet'' domein de kans dat X ∈ [''a'', ''b''] berekenen. Die kans is dan gelijk aan de som van de kansen P(X = x) over alle x ∈ [''a'', ''b'']. De [[Kansverdeling#Binomiale verdeling|binomiale verdeling]] is hiervan een mooi voorbeeld.

== Veelgebruikte kansverdelingen ==
De [[Typologie van modellen#Deterministish versus probabilistisch|probabilistische modellen]] die we binnen het vak Systeemmodellering behandelen maken gebruik van zeven gangbare kansverdelingen. Van elk van deze verdelingen laten we een grafiek zien van de dichtheidsfunctie p(x) en de kansverdeling P(X ≤ x). Deze grafieken laten telkens mooi zien dat de kansverdeling de integraal (en bij discrete verdelingen de som) over de dichtheid is.

=== Uniforme verdeling ===
De '''uniforme verdeling''' op een interval [''a'', ''b''] wordt genoteerd als '''U(''a'', ''b'')'''. Zoals de naam al zegt is bij deze verdeling de kans op elke waarde hetzelfde. Om aan te geven dat stochast X uniform verdeeld is op het interval [0,1], schrijf je X ~ U(0, 1).

{|
| '''Kansdichtheid''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:uniformeVerdelingDichtheid.png]] ||  || [[Bestand:uniformeVerdeling.png]]
|}

=== Driehoeksverdeling ===
De '''driehoeksverdeling''' gebruik je wanneer je te weinig empirische gegevens hebt om de kansverdeling van een stochast X te bepalen, maar toch een idee hebt van de onder- en bovengrens, en je bovendien een ''educated guess'' durft te doen wat betreft de meest waarschijnlijke (dus meest voorkomende) waarde van X, ook wel de ''modus'' genoemd. Deze drie waarden zijn dan de parameters ''a'', ''b'' en ''m'' van de verdeling.

Er bestaat geen officiële standaardnotatie voor de driehoeksverdeling, maar vaak wordt de hoofdletter T (van ''triangular'') gebruikt. Om aan te geven dat stochast X een driehoeksverdeling heeft schrijf je X ~ '''T(''a'', ''b'', ''m'')'''. In plaats van alleen de letter T wordt ook wel ''Tri'' of voluit ''Triangular'' geschreven.

De driehoeksverdeling wordt vaak gebruikt om de duur van een handeling te modelleren, bijvoorbeeld de behandeltijd in een [[wachtrijmodel]]. Als parameters ''a'', ''b'' en ''m'' neem je dan respectievelijk de kortst denkbare duur, de langst denkbare duur, en de meest waarschijnlijke duur van een handeling.

Een eenvoudige variant is de ''symmetrische'' driehoeksverdeling, waar ''m'' midden tussen ''a'' en ''b'' in ligt: T(a,b). Deze verdeling is vaak bruikbaar als redelijke benadering van de normale verdeling (zie hierna).

{|
| '''Kansdichtheid''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:driehoeksverdelingDichtheid.png]] ||   || [[Bestand:driehoeksverdeling.png]]
|}

=== Normale (of standaard-normale) verdeling ===
Om aan te geven dat stochast X normaal verdeeld is schrijf je X ~ '''N(''μ'', ''σ''2)'''. Dit wil zeggen dat bij oneindig veel waarden van X het ''gemiddelde'' van die waarden van X gelijk zal zijn aan μ, en de standaarddeviatie van die waarden gelijk zal zijn aan σ (zie [[Beschrijvende statistiek]]).
{|
| '''Kansdichtheid''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:normaleVerdelingDichtheid.png]] ||   || [[Bestand:normaleVerdeling.png]]
|}
Voor modelleerdoeleinden is de normale verdeling vaak minder geschikt, doordat de kans bestaat dat extreme waarden worden gegenereerd, zoals mensen met een lengte van 2,8 m of zelfs -15 cm. Een driehoeksverdeling is in de meeste gevallen een goede benadering.

=== Negatief-exponentiële verdeling ===
De '''negatief-exponentiële verdeling''' (ook wel exponentiële verdeling genoemd; notatie '''Exp(''λ'')''') gebruik je typisch bij het modelleren van een [[aankomstproces]] in een [[continuetijdmodel]]. Bij een aankomstproces wordt de tijd tussen twee opeenvolgende aankomsten (tussenaankomsttijd; Engels: ''inter-arrival time'') door een stochastische variabele weergegeven. Die stochast kan elke continue kansverdeling op het interval [0, ∞) hebben, maar de negatief-exponentiële kansverdeling is het meest gebruikelijk. Met de parameter λ kun je de gemiddelde aankomstfrequentie instellen. De verdeling heeft een lange "staart", wat er voor zorgt dat de volgende aankomst soms ook heel lang op zich laat wachten.

(Verwar '''Exp(''λ'')''' niet met '''exp(''λ'')''', de [[Functievoorschrift|alternatieve notatie]] voor '''e''λ'''''; dit is een voorbeeld van een onderscheidend verschil tussen [[Representatie_van_variabelen|kapitalen en onderkastletters]].)
{|
| '''Kansdichtheid''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:negExpVerdelingDichtheid.png]] ||   || [[Bestand:negExpVerdeling.png]]
|}

=== Poissonverdeling ===
De '''Poissonverdeling''' gebruik je om discrete fenomenen te modelleren (gebeurtenissen die een heeltallig aantal keer optreden gedurende een gegeven tijdsinterval of in een bepaald gebied), waarbij de kans op zo'n fenomeen constant is. Notatie: '''Poisson(''λ'')''' of '''Pois(''λ'')'''. Voorbeelden:

* het aantal voertuigen op een weg dat in een uur een referentiepunt passeert (zie [[Verkeersstroommodel]])
* het aantal keren op een dag dat je telefoon gaat
* het aantal spelfouten dat je op één pagina maakt
* het aantal lege koffiebekertjes dat je na een pauze in de kantine aantreft
* het aantal atoomkernen van een radioactieve stof dat in een bepaalde tijd vervalt

Het gemiddelde aantal is dan de enige parameter λ van de Poissonverdeling.

{|
| '''Kansfunctie''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:poissonverdelingDichtheid.png]] ||   || [[Bestand:poissonverdeling.png]]
|}

Bij een willekeurig aankomstproces is de tussentijd tussen gebeurtenissen (aankomsten) negatief exponentieel verdeeld en beschrijft de Poissonverdeling de kans op een bepaald aantal gebeurtenissen in een tijdsinterval.
Ook bij een binomiale verdeling Bin(1, p) met kleine p is de tussentijd tussen de gebeurtenissen negatief exponentieel verdeeld.
Deze verdeling kan dus ook gebruikt worden bij een willekeurig aankomstproces.
De voorwaarde is dat p klein genoeg is, zodat de kans op meer dan één gebeurtenis per tijdstap verwaarloosbaar is.

=== Binomiale verdeling ===
De '''Binomiale verdeling''' de geeft de kansverdeling weer van het aantal "successen" X in een reeks van ''n'' onafhankelijke experimenten waarbij elk experiment precies twee mogelijke uitkomsten heeft (1 = succes, 0 = mislukking) en de kans op succes voor elk experiment gelijk is aan ''p''. Omdat het [[Domein van een variabele|domein]] van de [[stochast]] X gelijk is aan {0, 1, ..., ''n''} is de binomiale verdeling een ''discrete'' kansverdeling. Om aan te geven dat een stochast X binomiaal verdeeld is schrijf je X ~ '''B(''n'', ''p'')''' of X ~ '''Bin(''n'', ''p'')'''. De onderstaande reeks grafieken, voor p = ½, laat zien hoe als ''n'' toeneemt de vorm van de binominale verdeling steeds meer op die van de normale verdeling gaat lijken.

[[Bestand:binominaleverdelingen.png]]

=== Empirische verdeling ===
Een '''empirische verdeling''' gebruik je wanneer je veel empirische gegevens hebt over een [[stochast]], maar deze gegevens niet goed passen bij een theoretische kansverdeling (zoals de hiervóór beschreven kansverdelingen). In plaats van zo'n theoretische kansverdeling gebruik je dan een "trapfunctie" die je bepaalt op basis van je [[gegevensverzameling]] met waarden {''w1'', ..., ''wN''} volgens deze formule:

[[Bestand:EmpirischeVerdeling.png]]

N.B. Hierin betekent #{ ''i'' | ''wi'' ≤ ''x''} het aantal waarden in de gegevensverzameling dat kleiner of gelijk is aan ''x''.

<big>'''Voorbeeld'''</big>

Stel dat je gedurende vier weken het aantal mails dat je per dag ontvangt hebt geteld en dat je gegevensverzameling er zo uit ziet:

{3, 0, 7, 13, 8, 5, 11, 5, 15, 14, 2, 0, 19, 6, 6, 14, 13, 5, 11, 1, 4, 1, 19, 16, 3, 12, 13, 5}

Het [[Staafdiagram#Histogram|histogram]] van deze gegevensverzameling laat geen patroon zien dat duidelijk overeenkomt met een bekende verdeling:

[[Bestand:HistogramAantalMails.png]]

Als je het aantal mails per dag toch als een stochast M wilt modelleren, dan zou je deze empirische verdeling kunnen gebruiken:

[[Bestand:EmpirischeVerdeling.png]]   [[Bestand:EmpirischeVerdelingAantalMails.png]]

Onderstaande tabellen plus histogram beschrijven een verzameling van 1000 toevalsgetallen die uit deze empirische verdeling zijn getrokken:

{|
| [[Bestand:TabelAantalMailsSimulatie.png]] || width="40" | || valign="top" | [[Bestand:HistogramAantalMailsSimulatie.png]]
|}

'''Merk op:'''
# De waarden 9, 10, 17, 18, 20 en 21 komen niet voor in de empirische gegevensverzameling, en daarom ook niet in de verzameling toevalsgetallen.
# De vorm van de verdeling in het tweede histogram komt redelijk overeen met die in het eerste.
# Niettemin is het mogelijk dat het model waarin je deze empirische verdeling gebruikt niet [[Modelleercyclus#Verificatie en validatie|valide]] is omdat de gegevensverzameling waar deze verdeling op is gebaseerd erg klein is (N = 28). Als je nog een paar weken langer het aantal mails per dag zou tellen zouden de "gaten" tussen 8 en 11 en tussen 16 en 19 waarschijnlijk ook gevuld worden. Je zou dan misschien ook een betere "fit" vinden met bijvoorbeeld een Poissonverdeling.

== Toevalsgetallen genereren in Excel ==
Wanneer je in een [[operationeel model]] een of meer [[Stochast|stochastische variabelen]] gebruikt moet je voor die variabelen aangeven welke kansverdeling er bij hoort. Wanneer je dat model vervolgens wilt omzetten in een [[computationeel model]] zul je moeten aangeven hoe de waarden van de stochasten als toevalsgetallen uit hun verdelingen getrokken moeten worden. Hieronder leggen we uit hoe je dat in Excel kunt doen.

De bijbehorende Excel-functies zijn de vinden op '''[[Excel:Kansverdelingen]]'''.

De enige verdeling waaruit je in Excel met één [[Excel:Functienamen|functie]] een toevalsgetal kunt trekken is de '''standaard uniforme verdeling''' U(0, 1). Die functie is <tt>RAND()</tt>. Telkens wanneer je de functie <tt>RAND()</tt> aanroept krijg je dus een toevalsgetal tussen 0 en 1.

Voor alle andere kansverdelingen heb je de ''inverse functie'' van de kansverdeling P nodig. Zoals hiervóór is uitgelegd geeft de kansverdeling P(X = x) voor ieder getal x de kans dat stochast X de waarde x heeft als een getal tussen 0 en 1. Nu gaan we dit omdraaien: stel dat je een toevalsgetal y tussen 0 en 1 hebt getrokken, welk getal x hoort daarbij zodanig dat P(X = x) = y? Die waarde wordt berekend door de ''inverse'' van P (notatie: P-1).

De inverse functie van de '''negatief exponentiële verdeling''' is eenvoudig, waardoor je een stochast met deze verdeling in Excel kunt genereren met de LN-functie. Omdat λ de gemiddelde aankomstfrequentie weergeeft wordt gedeeld door λ want hoe groter de aankomstfrequentie, hoe korter de gemiddelde tijd tussen twee aankomsten.

Voor de '''binomiale verdeling''' gebruik je de ingebouwde inverse verdeling van Excel.

Voor een '''Poisson-verdeling''' kun je een wiskundige truc toepassen. Bij grote aantallen trekkingen en kleine kansen (n → ∞ en p → 0) lijkt de binomiale verdeling namelijk heel sterk op de Poisson-verdeling. Dit kun je gebruiken om een Poisson-verdeling na te bootsen.

De '''symmetrische driehoeksverdeling''' kan worden gegenereerd met twee uniform verdeelde getallen. Je begint bij het midden van het interval, telt daar een uniform verdeeld toevalsgetal tussen 0 en de halve breedte van de verdeling bij op, en trekt er een uniform verdeeld toevalsgetal tussen 0 en de halve breedte van de verdeling van af.

Hoe je een stochast met een empirische kansverdeling in Excel implementeert wordt uitgelegd in deze [[:Excel:Empirische verdeling|uitwerking van de empirische verdeling]].

Als je model stochasten bevat, zul je ook je [[Experimenteel_ontwerp#Experimenteel_ontwerp_voor_een_probabilistisch_model|experimenteel ontwerp]] hierop moeten afstemmen.
<noinclude>

== Zie ook ==
* Deze videoclips op YouTube: [http://youtu.be/vS9r7Say5Qk Kansen op discrete gebeurtenissen] en [http://youtu.be/FvgeZTUGF_E Discrete kansverdelingen].
* [[Aankomstproces]]
* [[Beschrijvende statistiek]]
* [[Staafdiagram#Histogram|Histogram]]
* [[Kansrekening]]
* [[Risico]]
* [[Stochast]]
* [[Oefeningen:Kansverdeling]]

[[Categorie:Canon]]
[[Categorie:Definities]]
[[Categorie:Probabilistische modellen]]
</noinclude>

Kansverdeling

2025-04-07T10:49:32Z

PatrickSteinmann: Corrected triangular distribution parameter order.

De '''kansverdeling''' van een [[stochast]] X is een functie die voor een gegeven waarde x aangeeft hoe groot de kans is dat X = x.

Een kans wordt uitgedrukt als een reëel getal op het interval [0, 1], waarbij 0 aangeeft dat X nooit waarde x zal hebben, en 1 aangeeft dat X altijd waarde x zal hebben. In dat laatste geval is X uiteraard geen stochastische variabele meer.

== Notatie ==
Een kansverdeling wordt doorgaans aangegeven met de hoofdletter P (de beginletter van het Engelse woord ''probability'').

Voor [[Stochast|stochastische variabelen]] met een discreet [[Domein van een variabele|waardebereik]] kun je de kans op elke discrete waarde aangeven, bijvoorbeeld

:P(X = x) = ⅙   (x ∈ {1, ..., 6})

als de stochast X een zuivere zeszijdige dobbelsteen representeert. Zie ook deze videoclip op [http://youtu.be/vS9r7Say5Qk YouTube].

Voor stochasten met een continu waardebereik kun je de kans aangeven dat de waarde van de stochast op een bepaald interval binnen dat waardebereik ligt, bijvoorbeeld

:P(X ≤ x) = (x − 1) / 4   (x ∈ [1,5])

om aan te geven dat de stochast X [[Kansverdeling#Uniforme verdeling|uniform verdeeld]] is op het interval [1,5].

== Kans en kansdichtheid ==
Voor een stochast X met een continu domein is de kans dat X ''exact'' gelijk is aan één specifieke waarde x ∈ ℝ nul. Daarom wordt voor continue kansverdelingen de '''kansdichtheid''' p(x) gedefinieerd als een continue functie p(x): ℝ → ℝ. De kans dat de waarde van de stochast X binnen een bepaald interval [''a'', ''b''] ligt is dan gelijk aan de integraal op dat interval over de dichtheidsfunctie:

:[[Bestand:kansverdelingAlsIntegraal.png]]

Dichtheidsfuncties worden altijd zo gedefinieerd dat de integraal over de dichtheid op interval [-∞, ∞] precies gelijk aan 1 is.

Als je de dichtheid in een [[lijndiagram]] weergeeft is de kans P(''a'' ≤ X ≤ ''b'') dus gelijk aan het oppervlak onder de lijn tussen ''a'' en ''b'':

[[Bestand:kansEnDichtheid.png]]

Bovenstaande figuur illustreert meteen dat P(''a'' ≤ X ≤ ''b'') (het rode oppervlak) gelijk is aan P(X ≤ ''b'') − P(X ≤ ''a'').

'''Merk op:''' Je kunt natuurlijk ook voor een stochast X met een ''discreet'' domein de kans dat X ∈ [''a'', ''b''] berekenen. Die kans is dan gelijk aan de som van de kansen P(X = x) over alle x ∈ [''a'', ''b'']. De [[Kansverdeling#Binomiale verdeling|binomiale verdeling]] is hiervan een mooi voorbeeld.

== Veelgebruikte kansverdelingen ==
De [[Typologie van modellen#Deterministish versus probabilistisch|probabilistische modellen]] die we binnen het vak Systeemmodellering behandelen maken gebruik van zeven gangbare kansverdelingen. Van elk van deze verdelingen laten we een grafiek zien van de dichtheidsfunctie p(x) en de kansverdeling P(X ≤ x). Deze grafieken laten telkens mooi zien dat de kansverdeling de integraal (en bij discrete verdelingen de som) over de dichtheid is.

=== Uniforme verdeling ===
De '''uniforme verdeling''' op een interval [''a'', ''b''] wordt genoteerd als '''U(''a'', ''b'')'''. Zoals de naam al zegt is bij deze verdeling de kans op elke waarde hetzelfde. Om aan te geven dat stochast X uniform verdeeld is op het interval [0,1], schrijf je X ~ U(0, 1).

{|
| '''Kansdichtheid''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:uniformeVerdelingDichtheid.png]] ||  || [[Bestand:uniformeVerdeling.png]]
|}

=== Driehoeksverdeling ===
De '''driehoeksverdeling''' gebruik je wanneer je te weinig empirische gegevens hebt om de kansverdeling van een stochast X te bepalen, maar toch een idee hebt van de onder- en bovengrens, en je bovendien een ''educated guess'' durft te doen wat betreft de meest waarschijnlijke (dus meest voorkomende) waarde van X, ook wel de ''modus'' genoemd. Deze drie waarden zijn dan de parameters ''a'', ''b'' en ''m'' van de verdeling.

Er bestaat geen officiële standaardnotatie voor de driehoeksverdeling, maar vaak wordt de hoofdletter T (van ''triangular'') gebruikt. Om aan te geven dat stochast X een driehoeksverdeling heeft schrijf je X ~ '''T(''a'', ''b'',''m'')'''. In plaats van alleen de letter T wordt ook wel ''Tri'' of voluit ''Triangular'' geschreven.

De driehoeksverdeling wordt vaak gebruikt om de duur van een handeling te modelleren, bijvoorbeeld de behandeltijd in een [[wachtrijmodel]]. Als parameters ''a'', ''b'' en ''m'' neem je dan respectievelijk de kortst denkbare duur, de langst denkbare duur, en de meest waarschijnlijke duur van een handeling.

Een eenvoudige variant is de ''symmetrische'' driehoeksverdeling, waar ''m'' midden tussen ''a'' en ''b'' in ligt: T(a,b). Deze verdeling is vaak bruikbaar als redelijke benadering van de normale verdeling (zie hierna).

{|
| '''Kansdichtheid''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:driehoeksverdelingDichtheid.png]] ||   || [[Bestand:driehoeksverdeling.png]]
|}

=== Normale (of standaard-normale) verdeling ===
Om aan te geven dat stochast X normaal verdeeld is schrijf je X ~ '''N(''μ'', ''σ''2)'''. Dit wil zeggen dat bij oneindig veel waarden van X het ''gemiddelde'' van die waarden van X gelijk zal zijn aan μ, en de standaarddeviatie van die waarden gelijk zal zijn aan σ (zie [[Beschrijvende statistiek]]).
{|
| '''Kansdichtheid''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:normaleVerdelingDichtheid.png]] ||   || [[Bestand:normaleVerdeling.png]]
|}
Voor modelleerdoeleinden is de normale verdeling vaak minder geschikt, doordat de kans bestaat dat extreme waarden worden gegenereerd, zoals mensen met een lengte van 2,8 m of zelfs -15 cm. Een driehoeksverdeling is in de meeste gevallen een goede benadering.

=== Negatief-exponentiële verdeling ===
De '''negatief-exponentiële verdeling''' (ook wel exponentiële verdeling genoemd; notatie '''Exp(''λ'')''') gebruik je typisch bij het modelleren van een [[aankomstproces]] in een [[continuetijdmodel]]. Bij een aankomstproces wordt de tijd tussen twee opeenvolgende aankomsten (tussenaankomsttijd; Engels: ''inter-arrival time'') door een stochastische variabele weergegeven. Die stochast kan elke continue kansverdeling op het interval [0, ∞) hebben, maar de negatief-exponentiële kansverdeling is het meest gebruikelijk. Met de parameter λ kun je de gemiddelde aankomstfrequentie instellen. De verdeling heeft een lange "staart", wat er voor zorgt dat de volgende aankomst soms ook heel lang op zich laat wachten.

(Verwar '''Exp(''λ'')''' niet met '''exp(''λ'')''', de [[Functievoorschrift|alternatieve notatie]] voor '''e''λ'''''; dit is een voorbeeld van een onderscheidend verschil tussen [[Representatie_van_variabelen|kapitalen en onderkastletters]].)
{|
| '''Kansdichtheid''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:negExpVerdelingDichtheid.png]] ||   || [[Bestand:negExpVerdeling.png]]
|}

=== Poissonverdeling ===
De '''Poissonverdeling''' gebruik je om discrete fenomenen te modelleren (gebeurtenissen die een heeltallig aantal keer optreden gedurende een gegeven tijdsinterval of in een bepaald gebied), waarbij de kans op zo'n fenomeen constant is. Notatie: '''Poisson(''λ'')''' of '''Pois(''λ'')'''. Voorbeelden:

* het aantal voertuigen op een weg dat in een uur een referentiepunt passeert (zie [[Verkeersstroommodel]])
* het aantal keren op een dag dat je telefoon gaat
* het aantal spelfouten dat je op één pagina maakt
* het aantal lege koffiebekertjes dat je na een pauze in de kantine aantreft
* het aantal atoomkernen van een radioactieve stof dat in een bepaalde tijd vervalt

Het gemiddelde aantal is dan de enige parameter λ van de Poissonverdeling.

{|
| '''Kansfunctie''' || width="60" |   || '''Cumulatieve verdeling'''
|-
| [[Bestand:poissonverdelingDichtheid.png]] ||   || [[Bestand:poissonverdeling.png]]
|}

Bij een willekeurig aankomstproces is de tussentijd tussen gebeurtenissen (aankomsten) negatief exponentieel verdeeld en beschrijft de Poissonverdeling de kans op een bepaald aantal gebeurtenissen in een tijdsinterval.
Ook bij een binomiale verdeling Bin(1, p) met kleine p is de tussentijd tussen de gebeurtenissen negatief exponentieel verdeeld.
Deze verdeling kan dus ook gebruikt worden bij een willekeurig aankomstproces.
De voorwaarde is dat p klein genoeg is, zodat de kans op meer dan één gebeurtenis per tijdstap verwaarloosbaar is.

=== Binomiale verdeling ===
De '''Binomiale verdeling''' de geeft de kansverdeling weer van het aantal "successen" X in een reeks van ''n'' onafhankelijke experimenten waarbij elk experiment precies twee mogelijke uitkomsten heeft (1 = succes, 0 = mislukking) en de kans op succes voor elk experiment gelijk is aan ''p''. Omdat het [[Domein van een variabele|domein]] van de [[stochast]] X gelijk is aan {0, 1, ..., ''n''} is de binomiale verdeling een ''discrete'' kansverdeling. Om aan te geven dat een stochast X binomiaal verdeeld is schrijf je X ~ '''B(''n'', ''p'')''' of X ~ '''Bin(''n'', ''p'')'''. De onderstaande reeks grafieken, voor p = ½, laat zien hoe als ''n'' toeneemt de vorm van de binominale verdeling steeds meer op die van de normale verdeling gaat lijken.

[[Bestand:binominaleverdelingen.png]]

=== Empirische verdeling ===
Een '''empirische verdeling''' gebruik je wanneer je veel empirische gegevens hebt over een [[stochast]], maar deze gegevens niet goed passen bij een theoretische kansverdeling (zoals de hiervóór beschreven kansverdelingen). In plaats van zo'n theoretische kansverdeling gebruik je dan een "trapfunctie" die je bepaalt op basis van je [[gegevensverzameling]] met waarden {''w1'', ..., ''wN''} volgens deze formule:

[[Bestand:EmpirischeVerdeling.png]]

N.B. Hierin betekent #{ ''i'' | ''wi'' ≤ ''x''} het aantal waarden in de gegevensverzameling dat kleiner of gelijk is aan ''x''.

<big>'''Voorbeeld'''</big>

Stel dat je gedurende vier weken het aantal mails dat je per dag ontvangt hebt geteld en dat je gegevensverzameling er zo uit ziet:

{3, 0, 7, 13, 8, 5, 11, 5, 15, 14, 2, 0, 19, 6, 6, 14, 13, 5, 11, 1, 4, 1, 19, 16, 3, 12, 13, 5}

Het [[Staafdiagram#Histogram|histogram]] van deze gegevensverzameling laat geen patroon zien dat duidelijk overeenkomt met een bekende verdeling:

[[Bestand:HistogramAantalMails.png]]

Als je het aantal mails per dag toch als een stochast M wilt modelleren, dan zou je deze empirische verdeling kunnen gebruiken:

[[Bestand:EmpirischeVerdeling.png]]   [[Bestand:EmpirischeVerdelingAantalMails.png]]

Onderstaande tabellen plus histogram beschrijven een verzameling van 1000 toevalsgetallen die uit deze empirische verdeling zijn getrokken:

{|
| [[Bestand:TabelAantalMailsSimulatie.png]] || width="40" | || valign="top" | [[Bestand:HistogramAantalMailsSimulatie.png]]
|}

'''Merk op:'''
# De waarden 9, 10, 17, 18, 20 en 21 komen niet voor in de empirische gegevensverzameling, en daarom ook niet in de verzameling toevalsgetallen.
# De vorm van de verdeling in het tweede histogram komt redelijk overeen met die in het eerste.
# Niettemin is het mogelijk dat het model waarin je deze empirische verdeling gebruikt niet [[Modelleercyclus#Verificatie en validatie|valide]] is omdat de gegevensverzameling waar deze verdeling op is gebaseerd erg klein is (N = 28). Als je nog een paar weken langer het aantal mails per dag zou tellen zouden de "gaten" tussen 8 en 11 en tussen 16 en 19 waarschijnlijk ook gevuld worden. Je zou dan misschien ook een betere "fit" vinden met bijvoorbeeld een Poissonverdeling.

== Toevalsgetallen genereren in Excel ==
Wanneer je in een [[operationeel model]] een of meer [[Stochast|stochastische variabelen]] gebruikt moet je voor die variabelen aangeven welke kansverdeling er bij hoort. Wanneer je dat model vervolgens wilt omzetten in een [[computationeel model]] zul je moeten aangeven hoe de waarden van de stochasten als toevalsgetallen uit hun verdelingen getrokken moeten worden. Hieronder leggen we uit hoe je dat in Excel kunt doen.

De bijbehorende Excel-functies zijn de vinden op '''[[Excel:Kansverdelingen]]'''.

De enige verdeling waaruit je in Excel met één [[Excel:Functienamen|functie]] een toevalsgetal kunt trekken is de '''standaard uniforme verdeling''' U(0, 1). Die functie is <tt>RAND()</tt>. Telkens wanneer je de functie <tt>RAND()</tt> aanroept krijg je dus een toevalsgetal tussen 0 en 1.

Voor alle andere kansverdelingen heb je de ''inverse functie'' van de kansverdeling P nodig. Zoals hiervóór is uitgelegd geeft de kansverdeling P(X = x) voor ieder getal x de kans dat stochast X de waarde x heeft als een getal tussen 0 en 1. Nu gaan we dit omdraaien: stel dat je een toevalsgetal y tussen 0 en 1 hebt getrokken, welk getal x hoort daarbij zodanig dat P(X = x) = y? Die waarde wordt berekend door de ''inverse'' van P (notatie: P-1).

De inverse functie van de '''negatief exponentiële verdeling''' is eenvoudig, waardoor je een stochast met deze verdeling in Excel kunt genereren met de LN-functie. Omdat λ de gemiddelde aankomstfrequentie weergeeft wordt gedeeld door λ want hoe groter de aankomstfrequentie, hoe korter de gemiddelde tijd tussen twee aankomsten.

Voor de '''binomiale verdeling''' gebruik je de ingebouwde inverse verdeling van Excel.

Voor een '''Poisson-verdeling''' kun je een wiskundige truc toepassen. Bij grote aantallen trekkingen en kleine kansen (n → ∞ en p → 0) lijkt de binomiale verdeling namelijk heel sterk op de Poisson-verdeling. Dit kun je gebruiken om een Poisson-verdeling na te bootsen.

De '''symmetrische driehoeksverdeling''' kan worden gegenereerd met twee uniform verdeelde getallen. Je begint bij het midden van het interval, telt daar een uniform verdeeld toevalsgetal tussen 0 en de halve breedte van de verdeling bij op, en trekt er een uniform verdeeld toevalsgetal tussen 0 en de halve breedte van de verdeling van af.

Hoe je een stochast met een empirische kansverdeling in Excel implementeert wordt uitgelegd in deze [[:Excel:Empirische verdeling|uitwerking van de empirische verdeling]].

Als je model stochasten bevat, zul je ook je [[Experimenteel_ontwerp#Experimenteel_ontwerp_voor_een_probabilistisch_model|experimenteel ontwerp]] hierop moeten afstemmen.
<noinclude>

== Zie ook ==
* Deze videoclips op YouTube: [http://youtu.be/vS9r7Say5Qk Kansen op discrete gebeurtenissen] en [http://youtu.be/FvgeZTUGF_E Discrete kansverdelingen].
* [[Aankomstproces]]
* [[Beschrijvende statistiek]]
* [[Staafdiagram#Histogram|Histogram]]
* [[Kansrekening]]
* [[Risico]]
* [[Stochast]]
* [[Oefeningen:Kansverdeling]]

[[Categorie:Canon]]
[[Categorie:Definities]]
[[Categorie:Probabilistische modellen]]
</noinclude>

Hoofdpagina

2024-11-07T08:03:07Z

PatrickSteinmann: typo fix

== Welkom op de wiki van het vak '''Systeemmodellering 1''' (TB112) ==

De artikelen op deze wiki vormen bij elkaar de gehele leerstof voor dit vak. Veel (maar niet alles) wordt behandeld tijdens de hoorcolleges.

Het '''[[overzicht van hoorcolleges]]''' geeft voor elk college een lijst van de onderwerpen.


De '''[[:Categorie:Canon|canon van TB-modellen]]''' geeft aan welke modellen we tot basiskennis voor de propedeuse Technische Bestuurskunde rekenen. '''Deze modellen moet je uit je hoofd kennen!'''

Om het selectief bestuderen van de stof te vergemakkelijken hebben we verder deze indexen gemaakt:

# [[:Categorie:Definities|Definities]] — kernbegrippen rond systeemmodellering → '''Deze moet je allemaal paraat hebben!'''
# [[:Categorie:Modellen|Modellen]] — indeling van alle modellen die we in deze module behandelen naar type.
# [[Index per modelleerstap|Modelleerstappen]] het merendeel van de artikelen gerangschikt naar hun relatie met de stappen in de [[modelleercyclus]].
# [[Special:AllPages/Oefeningen:|Oefeningen]] — herhalingsvragen, meerkeuzevragen en oefenopgaven om je te helpen bij het studeren.
# [[Special:AllPages/Excel:|Excel]] — alle in Excel uitgewerkte voorbeelden in één overzicht.
#::Je kunt ook veel opsteken van deze [http://www.excel-easy.com/ Excel tutorial].
#::Werk je met de Nederlandstalige versie van Excel? Lees dan [[Excel:Functienamen]].
# [[Special:AllPages|Alfabetische index]] — alle artikelen die tot de tentamenstof behoren, gerangschikt op titel.
# [[Thematische index]] — alle artikelen gerangschikt naar hun relatie met de rest van de TB-opleiding. N.B. In deze thematische indeling kan een artikel aan meer dan één onderwerp gekoppeld worden.

De met &oplus; aangegeven deelonderwerpen behoren '''niet''' tot de tentamenstof, maar dienen als aanvulling, verdieping of achtergrondinformatie.

<div style="padding:4px; background-color:#e0f8ff;border:2px dotted #90c0e0">
Sinds dit jaar is de '''[[ModEst:ModelleerEstafette|ModelleerEstafette]]''' geen onderdeel meer van dit vak.
De wikipagina's hierover zijn daarom alleen nog relevant als je vorig jaar nog niet alle estafettes met succes hebt afgerond. 
Voor wie het practicum nog "oude stijl" wil uitvoeren zijn relevante pagina's zoals de [[ModEst:Q&A|lijst met veelgestelde vragen (Q&A)]] nog steeds beschikbaar. 
Klik '''[[Special:AllPages/ModEst:|hier]]''' voor het overzicht van alle pagina's m.b.t. de ModelleerEstafette.
</div>

We wensen je veel succes en vooral ook veel plezier bij je studie!

Namens het docententeam: [[User:FloortjeDHont|Floortje d'Hont]] (modulemanager TB112E)