PieterBots: Nieuwe pagina aangemaakt met 'Een '''relatie''' definieert een verband tussen twee of meer andere concepten. TOC De meestgebruikte relaties zijn '''binair''' in de zin dat ze het verband b...'

2020-11-04T16:48:56Z

Nieuwe pagina aangemaakt met 'Een '''relatie''' definieert een verband tussen twee of meer andere concepten. __TOC__ De meestgebruikte relaties zijn '''binair''' in de zin dat ze het verband b...'

Nieuwe pagina

Een '''relatie''' definieert een verband tussen twee of meer andere concepten.

__TOC__
De meestgebruikte relaties zijn '''binair''' in de zin dat ze het verband beschrijven tussen telkens twee concepten.

* fiets ''is een'' voertuig
* fiets ''heeft een'' stuur
* fiets ''heeft een'' kleur
* woning ''heeft een'' gevel
* gevel ''heeft een'' isolatiewaarde
* Delftenaar ''is inwoner van'' Delft
* Delft ''ligt in'' Nederland
* 11 uur ''volgt op'' 10 uur

Merk op dat in de relatie ''heeft een'' bij (fiets, stuur) en (woning, gevel) een subtiel andere betekenis heeft dan bij (fiets, kleur) en (gevel, isolatiewaarde). In het eerste geval is concept B een [[Aggregatie|''onderdeel'']] van concept A, in het tweede geval is concept B een ''eigenschap'' van concept A. De term ''heeft een'' is in dit voorbeeld dus een [http://nl.wikipedia.org/wiki/Homoniem homoniem]. Je kunt dubbelzinnigheid voorkomen door preciezere termen te kiezen, bijv. ''heeft als onderdeel een'' en ''heeft als eigenschap een''.

==Wiskundige definitie en notatie==

Een relatie is gedefinieerd over een aantal [[Verzameling|verzamelingen]] en verbindt, uit deze verzamelingen, de elementen die met elkaar in het bedoelde verband staan. Wiskundig gezien is een relatie een [[Verzameling#Eigenschappen|deelverzameling]] van het [[Verzameling#Cartesisch product|Cartesisch product]] van deze verzamelingen.

Omdat relaties verzamelingen zijn worden ze vaak met een hoofdletter aangeduid.

Om aan te geven over welke verzamelingen een relatie is gedefinieerd schrijf je ''R'' &sube; ''V''1 × ''V''2 × ... × ''V''n.

Om aan te geven dat de concepten ''x'', ''y'' en ''z'' door de relatie ''R'' met elkaar in verband staan schrijf je ''R''(''x'', ''y'', ''z'').

Voor veelgebruikte wiskundige relaties worden standaardsymbolen gebruikt. Bij binaire relaties wordt dat symbool dan tussen de twee concepten geschreven:

* 5 > 2
* ''x'' ∈ ℝ
* ℕ ⊂ ℝ

==Eigenschappen van binaire relaties==

Om een binaire relatie goed te begrijpen helpt het om na te gaan of die relatie een of meer van de volgende eigenschappen heeft:

===Reflexiviteit===
Een relatie ''Q'' ⊂ ''E'' × ''E'' is '''reflexief''' indien ∀ e ∈ ''E'': ''Q''(e, e).

'''In woorden:''' Een binaire relatie over een verzameling is reflexief als elk element van die verzameling aan zichzelf gerelateerd is.

Voorbeelden van reflexieve relaties op de verzameling reële getallen ℝ zijn = (is gelijk aan), ≥ (is groter dan of gelijk aan) en ≤ (is kleiner dan of gelijk aan). Andere voorbeelden van reflexieve relaties zijn &sube; (is een deelverzameling van), de verbindingsrelatie tussen knopen in een [[netwerk]], alsook de op de verzameling mensen gedefinieerde relatie "is familie van".

Een relatie ''Q'' ⊂ ''E'' × ''E'' is '''irreflexief''' indien ∀ e ∈ ''E'': ¬''Q''(e, e).

===Transitiviteit===
Een relatie ''Q'' ⊂ ''E'' × ''E'' is '''transitief''' indien ∀ e1, e2, e3 ∈ ''E'': ''Q''(e1, e2) &and; ''Q''(e2, e3) ⇒ ''Q''(e1, e3).

'''In woorden:''' Een binaire relatie over een verzameling is transitief als steeds wanneer een element ''x'' gerelateerd is aan een element ''y'', en element ''y'' op zijn beurt weer gerelateerd is aan een element ''z'', element ''x'' dan ook gerelateerd is aan element ''z''.

Voorbeelden van transitieve relaties op de verzameling reële getallen ℝ zijn > (is groter dan), ≥ (is groter dan of gelijk aan), en = (is gelijk aan). Andere voorbeelden van transitieve relaties zijn hiërarchische relaties ([[Organisatieschema|''is-baas-van'']]) en de beïnvloedingsrelatie in een [[causalerelatiediagram]].

===Symmetrie===
Een relatie ''Q'' ⊂ ''E'' × ''E'' is '''symmetrisch''' indien ∀ e1, e2 ∈ ''E'': ''Q''(e1, e2) ⇒ ''Q''(e2, e1).

'''In woorden:''' Een binaire relatie is symmetrisch als steeds wanneer een element ''x'' gerelateerd is aan een element ''y'', element ''y'' dan ook gerelateerd is aan element ''x''.

De relatie = (is gelijk aan) is dus symmetrisch; de relaties < en > (is kleiner/groter dan) op de verzameling reële getallen ℝ zijn dat niet. Andere voorbeelden van een symmetrische relatie zijn "is reciproke van" (op de verzameling rationele getallen ℚ), "is buur van" (op de verzameling inwoners van een stad) en "is verbonden met" (op de verzameling knopen in een [[Netwerk#Fysieke netwerken|fysiek netwerk]]).

Een relatie ''Q'' ⊂ ''E'' × ''E'' is '''asymmetrisch''' (of ''anti-symmetrisch'') indien ∀ e1, e2 ∈ ''E'': e1 ≠ e2 &and; ''Q''(e1, e2) ⇒ ¬''Q''(e2, e1).

===Partiële ordening===
Een relatie ''Q'' ⊂ ''E'' × ''E'' is een '''partiële ordening''' wanneer ''Q'' transitief, reflexief en asymmetrisch is.

De relaties ≤ en ≥ (is kleiner/groter dan of gelijk aan) op de verzameling reële getallen ℝ zijn dus partiële ordeningen. Ook de relatie &sube; (is [[Verzameling#Notatie en eigenschappen|deelverzameling]] van), de hiërarchische relatie in een [[organisatieschema]] en de definitierelatie in een [[doelenboom]] zijn partiële ordeningen.

===Totale ordening===
Een relatie ''Q'' ⊂ ''E'' × ''E'' is een '''totale ordening''' wanneer ''Q'' transitief, irreflexief en asymmetrisch is.

De relaties < en > (is kleiner/groter dan) op de verzameling reële getallen ℝ zijn dus totale ordeningen.

<noinclude>==Zie ook==
* [[Logische symbolen]]
* De Wikipedia-artikelen [http://nl.wikipedia.org/wiki/Verzameling_%28wiskunde%29 Verzameling] en [http://nl.wikipedia.org/wiki/Relatie_%28wiskunde%29 Relatie].
* Deze [http://youtu.be/QNSm2QZmIRI kennisclip over verzamelingenleer]
* [[Oefeningen:Relatie]]

[[Categorie:Definities]]
[[Categorie:Notaties]]
</noinclude>

Relatie - Bewerkingsoverzicht

PieterBots: Nieuwe pagina aangemaakt met 'Een '''relatie''' definieert een verband tussen twee of meer andere concepten. __TOC__ De meestgebruikte relaties zijn '''binair''' in de zin dat ze het verband b...'

PieterBots: Nieuwe pagina aangemaakt met 'Een '''relatie''' definieert een verband tussen twee of meer andere concepten. TOC De meestgebruikte relaties zijn '''binair''' in de zin dat ze het verband b...'