Oefeningen:Voorbeeldmodellen
Onderstaande modellen dienen als voorbeeld bij oefenopgaven m.b.t. Model, Modelleercyclus, Modelleren, Modelschema, Typologie van modellen, Verificatie en validatie, Computationeel model,Efficiëntie.
Inhoud
Model A – Congestion pricing
Een geavanceerde methode van "rekening rijden" is congestion pricing. Daarbij wordt het tolbedrag niet aan vaste tijdintervallen (bijvoorbeeld van 7 tot 9 en van 16 en 18 uur) gekoppeld, maar aan de mate van congestie die zich op het betreffende deel van de snelweg voordoet.
V(t) = α*A(t) + β P(t) = 0 indien V(t) ≤ 0, of anders MINIMUM( V(t)·S(t) − 1½ , PMAX )
Het bovenstaande model legt een verband tussen de prijs P(t) die op tijdstip t over een bepaald wegdeel wordt gerekend, de verkeersintensiteit V(t) en de doorstromings-snelheid S(t) op dat wegdeel. De verkeersintensiteit wordt bepaald op basis van het aantal voertuigen A(t) dat in de laatste 5 minuten vóór tijdstip t het tolpunt voorbij is gekomen. Het tolbedrag stijgt naarmate het drukker wordt, maar is wel aan een maximum PMAX gebonden.
Model B – Infectiekans bij gebruik van huishoudwater
De microbiologische kwaliteit van het water is ook altijd een grote zorg. Drinkwater moet in principe vrij zijn van ziekteverwekkende micro-organismen zoals Giardia en Cryptosporidium. Voor huishoudwater zou een minder absolute norm gehanteerd kunnen worden. Hieronder wordt een model geschetst dat kan worden gebruikt om na te gaan of het gebruik van huishoudwater voor toiletspoeling, wasmachine en buitenkraan (voor tuin sproeien, auto wassen e.d.) een acceptabel gezondheidsrisico oplevert.
Als norm voor een acceptabel gezondheidsrisico wordt een infectiekans van 10-4 per jaar gehanteerd. Het maximale risico op infectie a.g.v. blootstelling aan een ziekteverwekker kan worden bepaald via een zg. dosis-responsmodel:
Pinf,jaar = 1 – (1 – Pinf,dag)365 Pinf,dag = 1 – e–rD D = C · F · W
Hierin is Pinf,jaar de kans op een infectie in een jaar, Pinf,dag de kans op een infectie gedurende een dag, D is het aantal ingenomen ziekteverwekkers (de dosis) en r is de responsparameter die per ziekteverwekker verschilt. Hoe hoger de waarde van r, hoe eerder men geïnfecteerd raakt (bij gelijke dosis D). De dosis is afhankelijk van de concentratie C van ziekteverwekkers in het water, de blootstellingsfrequentie F en de hoeveelheid huishoudwater W die per blootstelling via spatten of anderzins maximaal wordt ingenomen. Ter illustratie geeft onderstaande tabel de waarden voor r en C per ziekteverwekker, en de waarden voor F en W voor verschillende toepassingen.
|
|
Model C – Maat voor congestie op snelwegen
De ernst van congestie op een snelwegennetwerk wordt gedefinieerd als het product van de lengte van files en de duur van die files. Om de effecten van diverse maatregelen tegen congestie te voorspellen is de volgende modelvergelijking opgesteld:
- log G = α + β·[k · i / c] + log Gb + ε
waarin:
G de ernst van de congestie op het snelwegennetwerk α en β parameters waarvan de waarde m.b.v. regressieanalyse op basis van historische gegevens wordt bepaald k een vermenigvuldigingsfactor die per maatregel kan veranderen i de verkeersintensiteit [#/h] c de wegcapaciteit [#/h] Gb de ernst van de congestie in het referentiejaar 2010 ε een foutterm
Model D – Zonnecollector
Een vlakkeplaatzonnecollector bestaat uit een zonlichtabsorberende plaat, waarin kanaaltjes zijn aangebracht waardoor een vloeistof, meestal water, stroomt om warmte aan de plaat te onttrekken. Door de collector af te dekken met een glasplaat en door aan de zij- en onderkant een isolatielaag aan te brengen wordt voorkomen dat warmte naar de omgeving verloren gaat. Tussen de beide platen bevindt zich een luchtspouw met een hoge warmteweerstand. De glasplaat, die een slechte warmtegeleider is, laat zonlicht door maar absorbeert warmtestraling.
De externe invloeden op de collector zijn:
- de zonne-instraling
- de omgevingstemperatuur
- de wind (snelheid en richting)
- objecten in de omgeving waarmee door straling warmte uitgewisseld wordt
Elk geven ze aanleiding tot een bepaalde warmtestroom, die equivalent is aan een verhoging of verlaging van de omgevingstemperatuur. De externe invloeden kunnen daarom in één equivalente omgevingstemperatuur verdisconteerd worden, die onafhankelijk wordt verondersteld van de plaats op de collectorplaat.
Voor het ontwerp van zonnecollectors voor zonne-energiesystemen is het van belang om de ingangstemperatuur van de collector laag te houden bij een zo hoog mogelijk debiet.
De uigangstemperatuur van de collector is:
Tc = (1-H)·Te + H·Ti H = e(-u·f / g·Fc)
waarin
Tc collector-uitgangstemperatuur [°C] Te equivalente omgevingstemperatuur [°C] Ti collector-ingangstemperatuur [°C] u warmtedoorgangscoëfficiënt collector [W °C-1 m-2] f collectorefficiëntiefactor [1] g soortelijke warmte [J kg-1 °C-1] Fc collectordebiet [kg h-1 m-2]
Model E – Brandstofverbruik door vrachtwagens
TNO heeft begin jaren ’90 een model ontwikkeld voor het bepalen van het brandstofverbruik van vrachtwagens. Dit model bestaat uit de volgende vergelijkingen:
bv = brm + blA(25/vv + vv2/1000) + bk(1 − vv/100)m + bkr(100/vv − 1)mb + b0(mb + 10)/vv m = Brt/100·Bgr/100·mn + mv mn = 0,66(mb − 1,2) mv = mb − mn
waarin:
bv het brandstofverbruik van een vrachtwagen [g/km] br weerstand via de wielen [-] m gewicht op de weg [ton] Brt aandeel ritten met lading [%] Bgr beladingsgraad [%] mn gemiddelde laadcapaciteit [ton] mv gemiddeld vrachtwagengewicht [ton] bl luchtweerstand [-] A gemiddeld oppervlak van voorkant [m2] vv snelheid [km/h] bk kinetische energie van de vrachtwagen [-] bkr kinetische energie van de draaiende onderdelen [-] mb bruto toegestaan gewicht [ton] b0 indexwaarde voor brandstofverbruik per tijdseenheid [-]
De volgende waarden zijn empirisch vastgesteld:
| Parameter | 3,5 - 16 ton | > 16 ton | oplegger | |
|---|---|---|---|---|
| A | 8,6 | 8,6 | 8,6 | |
| mb | 10 | 22 | 35 | |
| Brt | 65 | 65 | 65 | |
| Bgr | 75 | 75 | 75 | |
| vv | bebouwde kom | 19 | 19 | 19 |
| daarbuiten | 50 | 50 | 50 | |
| snelweg | 80 | 60 | 80 | |
Tabel E1. Waarden voor de parameters die van het laadvermogen afhangen
| Parameter | 1980 | 1990 | 2000 |
|---|---|---|---|
| br | 5,25 | 4,50 | 4,00 |
| bl | 1,75 | 1,35 | 1,15 |
| bk | 11,8 | 10,7 | 10,1 |
| bkr | 0,32 | 0,29 | 0,28 |
| b0 | 55,5 | 50,0 | 47,5 |
Tabel E2. Waarden voor parameters die van het bouwjaar afhangen
Model F – Productie van penicilline
In een fermentor groeit een micro-organisme waarmee penicilline wordt gemaakt. Als voedingsbron wordt gedurende het hele proces, dat 10 uur duurt, suiker gedoseerd. De groei van het micro-organisme is rechtstreeks afhankelijk van de suikertoeloop. De toename van het product is afhankelijk van de hoeveelheid micro-organisme volgens de volgende relatie:
dM(t)/dt = c(T(t))·S dP(t)/dt = Qp(T(t))·M(t) c(T(t)) = -8,0 + 0.6T(t) − 0,01T2(t) Q(T(t)) = -3,0 + 0.4T(t) − 0,01T2(t)
waarin:
M(t) hoeveelheid micro-organisme [kg] P(t) hoeveelheid penicilline [penicilline-eenh.] S suikerdosering [kg/h] T(t) temperatuur als functie van de tijd [°C] c(T(t)) opbrengstfactor [1] Qp(T(t)) specifieke productiesnelheid [penicilline-eenh. kg-1 h-1]
De begincondities in de fermentor zijn:
M(t=0) = 1,0 P(t=0) = 0,0
