Dimensieanalyse

Bij een dimensieanalyse wordt gecontroleerd of een vergelijking dimensioneel in orde is. Het is een van de controlemiddelen bij het bepalen van de consistentie van een model. Een dimensieanalyse kan worden uitgevoerd met de dimensienamen zelf (lengte L, massa M, tijd T enz.), maar ook met de bijbehorende eenheden (m, kg, s, enz.). Dit laatste is bij meer meerdimensionale grootheden vaak handiger.

Met vierkante haken rond een grootheid wordt aangegeven dat de dimensie van deze grootheid bedoeld wordt.

Een formule die dimensioneel klopt, hoeft nog niet correct te zijn. Maar een formule die dimensioneel niet klopt, is in ieder geval niet correct.

Voorbeelden

In de eerste twee voorbeelden hieronder worden als illustratie bekende natuurkundige vergelijkingen gebruikt. Bij het maken van een model hoef je geen dimensieanalyse op dit soort vergelijkingen los te laten. Bij vergelijkingen die je zelf opstelt, moet je dat wel doen.

Met de notatie [x] wordt bedoeld: "de dimensie van x" of "de eenheid van x" (afhankelijk van of je met dimensies of met eenheden werkt).

met dimensiesymbolen

afgelegde weg = snelheid keer tijd:

s = v·t

[s] = L

[v] = L/T

[t] = T

Voor de rechterkant van de vergelijking geldt daarom: (L/T)·T = L

Dit is gelijk aan de dimensie van de linkerkant van de vergelijking; de vergelijking klopt dus dimensioneel.

met eenheden

vergelijking voor de kinetische energie:

E_kin = ½mv²

[E] = J = N·m = kg·m/s² · m = kg·m²/s²

[m] = kg

[v] = m/s

Rechterkant vergelijking: kg · (m/s)² = kg·m²/s²

(De constante "½" is dimensieloos.)

Dit is gelijk aan de dimensie van de linkerkant van de vergelijking; de vergelijking klopt dus dimensioneel.

met eenheden, als er aantallen bij zijn

Een aantal is (natuurkundig gezien) dimensieloos. Het is dan echter lastig controleren of de dimensies "kloppen", want "een aantal huizen" is niet hetzelfde als "een aantal fietsen". Daarom gebruiken we bij een aantal als "eenheid" het symbool #, met een subscript als er aantallen van verschillende zaken in de vergelijking aanwezig zijn.

vergelijking voor het aantal mobiele telefoons in een woonwijk:

N_m = N_w · N_i · A

[N_m] (aantal mobiele telefoons) = #_m

[N_w] (aantal woningen per oppervlakte) = #_w/km²

[N_i] (aantal mobieltjes per woning) = #_m/#_w

[A] (oppervlakte woonwijk) = km²

Linkerkant vergelijking: #_m

Rechterkant vergelijking: #_w/km² · #_m/#_w · km² = #_m

De vergelijking is dus dimensioneel correct.

(Let op: # gebruiken we dus als symbool voor de eenheid, niet voor de grootheid.)

Ook bij de gebruikelijke eenheden kan het nuttig zijn om een subscript te gebruiken waar verwarring mogelijk is. Een voorbeeld is wanneer een concentratie van chemicaliën gegeven is in [kg/kg]. Het is dan handig om bijvoorbeeld de massa aluminium in bauxiet uit te drukken in kg_a/kg_b:

vergelijking voor de dagelijkse hoeveelheid aluminium die uit een mijn komt:

P_a = C_a · P_b

kg_a/d = kg_a/kg_b · kg_b/d

Deze vergelijking is dus dimensioneel in orde.

Wiskundige functies

Voor wiskundige standaardfuncties zoals sin(x), cos(x), exp(x) (=e^x) en ln(x) geldt:

• Het argument (dat wat tussen haakjes staat) moet dimensieloos zijn.
• De functie levert een dimensieloos resultaat op.

Als je dus bijvoorbeeld bij een getijdencentrale de waterhoogte (h) ten gevolge van het getij als functie van de tijd (t) modelleert met deze functie:

h = h₀ + h₁·sin(αt)

moeten zowel h₀ als h₁ dezelfde eenheid hebben als h (want de sinus levert een dimensieloos getal), en moet α de dimensie tijd^-1 hebben, zodat het argument van de sinus (αt) als geheel dimensieloos is.

Zie ook

• Dimensie
• Eenheid
• Notatie van vergelijkingen
• Verificatie
• Oefeningen:Dimensieanalyse