Notatie van vergelijkingen

Uit Systeemmodellering
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Met betrekking tot de notatie van vergelijkingen hanteren we deze (bekend veronderstelde) conventies:

  • Variabelen worden weergegeven door letters, of desnoods lettercombinaties
  • Vermenigvuldiging wordt genoteerd met een punt (·), dus niet met een sterretje (*)
  • Machtsverheffen wordt genoteerd door de macht als superscript te schrijven, dus ex en (1+r)t
  • |x| geeft de absolute waarde van variabele x weer
  • Standaard wiskundige functies worden genoteerd als sin(x), ln(y), etc.

Daarnaast maken we vaak gebruik van deze notaties:

  • min(a, b, ...) staat voor de laagste van de waarden in de tussen haakjes gegeven lijst (met elementen door komma's gescheiden)
  • max(a, b, ...) de hoogste van de waarden in de gegeven lijst
  • x⌋ het grootste gehele getal dat kleiner is dan x, dus 3 als x = π, en -2 als x = -1.23
  • x⌉ het kleinste gehele getal dat groter is dan x, dus ⌈π⌉ = 4 en ⌈-1.23⌉ = -1

Optellingen over reeksen worden genoteerd m.b.v. het somteken:

Gemiddelde.png

(voorbeeld geeft de berekening van het gemiddelde van een gegevensverzameling weer)

Modelvergelijkingen

Een modelvergelijking beschrijft hoe de waarde van een endogene variabele berekend wordt.

Kenmerkend voor modelvergelijkingen is dat daarin links van het gelijkheidsteken = precies één variabele staat (de "afhankelijke" variabele van de vergelijking). Rechts van het gelijkheidsteken staat dan in wiskundige notatie hoe de waarde van de afhankelijke variabele berekend wordt.

Om natuurkundige vergelijkingen zoals de algemene gaswet p·V = n·R·T in een model te gebruiken moet je de vergelijking herschrijven zodat links van het gelijkheidsteken maar één variabele staat.

In het rechterlid van een modelvergelijking mag de afhankelijke variabele zelf niet gebruikt worden, dus X = a·X + b is geen goede modelvergelijking, ook al is hij wiskundig wel oplosbaar!

Merk op: Bij differentievergelijkingen staan links en rechts van het gelijkheidsteken weliswaar wel dezelfde variabelenaam, maar dan staat links altijd een later tijdstip t+Δt, terwijl in het rechterlid alleen waarden voor eerdere tijdstippen worden gebruikt (t, t-Δt, t-2Δt, enzovoorts).

Conditionele vergelijkingen

Modelvergelijkingen die condities bevatten worden genoteerd m.b.v. één enkele accolade met daarachter onder elkaar de mogelijke gevallen:

ConditioneleVergelijking.png

(voorbeeld geeft een nutsfunctie weer, waarbij nut sneller daalt bij verlies dan stijgt bij winst)

De condities (= de logische formules na het woordje als) rechts van de accolade worden één voor één geëvalueerd. Ze hoeven elkaar niet wederzijds uit te sluiten; de eerste die WAAR is bepaalt de waarde van de functie (de expressie vóór het woordje als). De laatste conditie is altijd anders; dat zorgt er voor dat de functiewaarde altijd gedefinieerd is.

Gebruik voor het noteren van niet-eenvoudige vergelijkingen altijd een formule-editor.

Modelvergelijkingen voor binaire variabelen

Omdat logische uitspraken alleen WAAR of ONWAAR kunnen zijn, en als conventie geldt dat WAAR = 1 en ONWAAR = 0, mag je in modelvergelijkingen voor binaire variabelen rechts van het gelijkheidsteken = een logische uitspraak noteren. Gebruik daarbij – indien nodig – haakjes om duidelijk te maken waar die logische expressie begint.

Voorbeelden

Als X een binaire variabele is, dan is de modelvergelijking

X = a < 3 ∨ a > 6

een correcte compacte notatie voor "X is gelijk aan 1 als a kleiner dan 3 of groter dan 6 is, en anders 0".

De vergelijking

X = a = b

is dubbelzinnig vanwege de twee gelijktekens. Voor de duidelijkheid noteer je die dan met extra haakjes:

X = (a = b)

Op deze manier is duidelijk dat "a = b" een logische uitspraak is en de vergelijking aangeeft dat "X is gelijk aan 1 als a gelijk is aan b, en anders 0".


Zie ook