Functievoorschrift

Een functievoorschrift is een wiskundige representatie van de wijze waarop een variabele afhangt van andere variabelen.

Toepassing in de modelleercyclus

Bij het maken van een operationeel model moeten relaties tussen variabelen in functievoorschriften vastgelegd worden. Daarbij worden (zie Ockham) zo eenvoudig mogelijke relaties gebruikt, zoals lineaire of kwadratische. De functies worden genoteerd met parameters, die bij de toepassing van het model een waarde krijgen.

Bij de interpretatie van de modeluitkomsten moet bekeken worden welk soort gedrag het systeem vertoont.

Van grafiek naar functievoorschrift

In de middelbareschoolwiskunde wordt meestal van een functievoorschrift naar een grafiek gewerkt: aan de hand van het functievoorschrift wordt bepaald waar bijvoorbeeld nulpunten, maxima en buigpunten liggen, zodat de grafiek getekend kan worden. Bij het modelleren gaat het vaak andersom: het gedrag (van een invoer- of een uitvoervariabele) is gegeven, en vervolgens willen we daar de formule bij bepalen.

Onderverdeling van het domein

Functievoorschriften die bij de operationalisatie worden opgesteld, moeten vaak uit meerdere functies bestaan, die ieder voor een deel van het domein gelden. Stel dat je in een model het aantal bezoekers aan een evenement in de open lucht nodig hebt, dan kun je bijvoorbeeld aannemen dat er alleen bezoekers zullen zijn tussen een minimum- en een maximumtemperatuur. Anders vinden ze het te koud of te heet. Het te verwachten aantal bezoekers zou in het model een van de onderstaande vormen kunnen hebben:

Als modelleur moet je besluiten of je het bezoek tussen de minimum- en de maximumtemperatuur (T_min en T_max) wilt modelleren als constant (blauwe lijn), als een driehoek (groene lijn), als een kwadraat of sinusvorm (rode lijn), of op een andere manier. Maar in alle gevallen zul je een verschil moeten maken tussen de functies binnen en buiten de acceptabele temperaturen. In het geval van de driehoeksfunctie zul je tussen T_min en T_max ook nog twee verschillende functies nodig hebben, en zou je er zelfs voor kunnen kiezen om de top niet midden in het gebied te leggen.

Wanneer bijvoorbeeld de minimum- en de maximumtemperatuur respectievelijk 10 °C en 30 °C bedragen, kan de uniforme verdeling als volgt geschreven worden:

Hierbij is met de accolade en de voorwaarde (10 ≤ T ≤ 30) het domein in drie stukken opgedeeld.

De kwadratische verdeling zou je dan op deze manier kunnen schrijven:

Met behulp van de max-functie (die het maximum van de gegeven argumenten levert) krijgt de functie de juiste waarden in het hele domein, ook buiten T_min en T_max.

Hier is ook de notatie met de accolade mogelijk om het domein onder te verdelen.

De versie met de driehoeksverdeling zou deze vorm krijgen:

Periodiek en exponentieel gedrag

Systemen vertonen vaak periodiek of exponentieel gedrag, of een combinatie daarvan. De differentiaalvergelijkingen die het systeemgedrag bepalen, leiden daar nu eenmaal snel toe: het gedrag is cyclisch, dempt uit of blijft groeien. Hieronder staan enkele voorbeelden van functies die een combinatie zijn van periodieke en/of exponentële functies.

       

Van links naar rechts zouden deze functies een eerste aanzet kunnen zijn voor modellen van:

CO₂-concentratie op Mauna Loa

1. de opbrengst van zonnepanelen bij onbewolkte hemel door het jaar heen (een trage jaarcyclus met de snellere dagcyclus)
2. het verkeer door een toeristisch gebied door het jaar heen
3. de koolstofdioxideconcentratie gedurende een aantal jaren (vergelijk met de metingen op Mauna Loa, rechts)
4. de uitwijking van een niet-aangeduwde schommel
5. de koers van een zelfsturende auto met een defecte terugkoppeling

De functievoorschriften voor deze functies kunnen op de volgende manier in parametervorm (dus "zonder getallen in te vullen") geschreven worden:

1. x = a·cos(αt)·cos(βt)
2. x = a·cos(αt) + b·cos(βt)
3. x = a·exp(αt) + b·cos(βt)
4. x = a·exp(αt)·cos(βt)
5. x = a·exp(αt)·cos(βt)

De blauwe parameters zijn positief, de rode negatief.

In deze formules is gebruik gemaakt van de notatie exp(x), een andere notatie voor e^x.

Zie ook

• Typologie van systeemgedrag
• Notatie van vergelijkingen
• Oefeningen:Functievoorschrift
• De functietrainer, waarmee je je eigen oefeningen kunt genereren.