Booleaanse algebra
Booleaanse algebra is een tak van de wiskunde waarin de variabelen alleen de waarden waar en onwaar kunnen hebben. De variabelen hebben betrekking op situaties die waar of niet waar kunnen zijn. Voorbeeld: de variabele
- a = "Dit getal is een priemgetal."
is waar voor 2, 3, 5, 7, 11 enz., maar onwaar voor 1, 4, 6, 8, 9, 10, enz.
Op de variabelen kunnen bewerkingen worden toegepast:
bewerking symbool voorbeeld betekenis en ⋀ a ⋀ b a is waar én b is waar of ⋁ a ⋁ b a is waar of b is waar, of allebei niet ¬ ¬a a is onwaar
Voorbeelden
Stel dat we de volgende variabelen definiëren:
- a = "Dit voorwerp is rood."
- b = "Dit voorwerp is een vrucht."
Voor een rijpe tomaat geldt dan dat a ⋀ b waar is. Voor een brandweerauto is a ⋀ b onwaar, maar a ⋁ b waar. Voor een komkommer geldt ¬a ⋀ b.
Waar wordt vaak met een 1 aangeduid, onwaar met een 0. Met deze notatie kan de volgende waarheidstabel worden gemaakt:
a b a ⋀ b a ⋁ b 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1
Voor een uitgebreider voorbeeld kijken we naar het geven van voorrang op een kruising. We definiëren de volgende variabelen:
- a = "Ik rijd op een voorrangsweg."
- b = "Er komt verkeer van rechts."
- v = "Ik moet voorrang geven."
Als je niet op een voorrangsweg rijdt en er komt een auto van rechts, moet je voorrang geven. Dit noteren we als volgt:
- v = ¬a ⋀ b
Dit kun je lezen als "Ik moet voorrang geven als ik niet op een voorrangsweg rijd én er verkeer van rechts komt." In een waarheidstabel weergegeven:
a b ¬a ⋀ b 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0
Soms kruist er een politieauto met sirene je weg. Dan moet je voorrang geven, ook als je op een voorrangsweg rijdt. We definiëren:
- c = "Er kruist een politieauto met sirene mijn weg."
De voorwaarde voor v wordt nu uitgebreid:
- "Ik moet voorrang geven
- als ik niet op een voorrangsweg rijd én er verkeer van rechts komt
- of als er een politieauto met sirene mijn weg kruist."
In formulevorm:
- v = ( ¬a ⋀ b ) ⋁ c
En in een waarheidstabel weergegeven:
a b c ( ¬a ⋀ b ) ⋁ c 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
Relatie met Venndiagrammen
Booleaanse algebra heeft een sterke relatie met Venndiagrammen, die ook tot uitdrukking komt in de notatie.
We kunnen bij de variabelen van de voorrangssituatie hierboven ook vier verzamelingen definiëren:
- A: situaties waarin je op een voorrangsweg rijdt
- B: situaties waarin er verkeer van rechts komt
- C: situaties waarin er een politieauto met sirene je weg kruist
- V: situaties waarin je voorrang moet verlenen
Dan geldt:
- V = ( B \ A ) ∪ C
(zie het Venndiagram hieronder, waarin V in rood is weergegeven).
De overeenkomst met
- v = ( ¬a ⋀ b ) ⋁ c
is duidelijk.
