Relatie

Een relatie definieert een verband tussen twee of meer andere concepten.

De meestgebruikte relaties zijn binair in de zin dat ze het verband beschrijven tussen telkens twee concepten.

• fiets is een voertuig
• fiets heeft een stuur
• fiets heeft een kleur
• woning heeft een gevel
• gevel heeft een isolatiewaarde
• Delftenaar is inwoner van Delft
• Delft ligt in Nederland
• 11 uur volgt op 10 uur

Merk op dat in de relatie heeft een bij (fiets, stuur) en (woning, gevel) een subtiel andere betekenis heeft dan bij (fiets, kleur) en (gevel, isolatiewaarde). In het eerste geval is concept B een onderdeel van concept A, in het tweede geval is concept B een eigenschap van concept A. De term heeft een is in dit voorbeeld dus een homoniem. Je kunt dubbelzinnigheid voorkomen door preciezere termen te kiezen, bijv. heeft als onderdeel een en heeft als eigenschap een.

Wiskundige definitie en notatie

Een relatie is gedefinieerd over een aantal verzamelingen en verbindt, uit deze verzamelingen, de elementen die met elkaar in het bedoelde verband staan. Wiskundig gezien is een relatie een deelverzameling van het Cartesisch product van deze verzamelingen.

Omdat relaties verzamelingen zijn worden ze vaak met een hoofdletter aangeduid.

Om aan te geven over welke verzamelingen een relatie is gedefinieerd schrijf je R ⊆ V₁ × V₂ × ... × V_n.

Om aan te geven dat de concepten x, y en z door de relatie R met elkaar in verband staan schrijf je R(x, y, z).

Voor veelgebruikte wiskundige relaties worden standaardsymbolen gebruikt. Bij binaire relaties wordt dat symbool dan tussen de twee concepten geschreven:

• 5 > 2
• x ∈ ℝ
• ℕ ⊂ ℝ

Eigenschappen van binaire relaties

Om een binaire relatie goed te begrijpen helpt het om na te gaan of die relatie een of meer van de volgende eigenschappen heeft:

Reflexiviteit

Een relatie Q ⊂ E × E is reflexief indien ∀ e ∈ E: Q(e, e).

In woorden: Een binaire relatie over een verzameling is reflexief als elk element van die verzameling aan zichzelf gerelateerd is.

Voorbeelden van reflexieve relaties op de verzameling reële getallen ℝ zijn = (is gelijk aan), ≥ (is groter dan of gelijk aan) en ≤ (is kleiner dan of gelijk aan). Andere voorbeelden van reflexieve relaties zijn ⊆ (is een deelverzameling van), de verbindingsrelatie tussen knopen in een netwerk, alsook de op de verzameling mensen gedefinieerde relatie "is familie van".

Een relatie Q ⊂ E × E is irreflexief indien ∀ e ∈ E: ¬Q(e, e).

Transitiviteit

Een relatie Q ⊂ E × E is transitief indien ∀ e₁, e₂, e₃ ∈ E: Q(e₁, e₂) ∧ Q(e₂, e₃) ⇒ Q(e₁, e₃).

In woorden: Een binaire relatie over een verzameling is transitief als steeds wanneer een element x gerelateerd is aan een element y, en element y op zijn beurt weer gerelateerd is aan een element z, element x dan ook gerelateerd is aan element z.

Voorbeelden van transitieve relaties op de verzameling reële getallen ℝ zijn > (is groter dan), ≥ (is groter dan of gelijk aan), en = (is gelijk aan). Andere voorbeelden van transitieve relaties zijn hiërarchische relaties (is-baas-van) en de beïnvloedingsrelatie in een causalerelatiediagram.

Symmetrie

Een relatie Q ⊂ E × E is symmetrisch indien ∀ e₁, e₂ ∈ E: Q(e₁, e₂) ⇒ Q(e₂, e₁).

In woorden: Een binaire relatie is symmetrisch als steeds wanneer een element x gerelateerd is aan een element y, element y dan ook gerelateerd is aan element x.

De relatie = (is gelijk aan) is dus symmetrisch; de relaties < en > (is kleiner/groter dan) op de verzameling reële getallen ℝ zijn dat niet. Andere voorbeelden van een symmetrische relatie zijn "is reciproke van" (op de verzameling rationele getallen ℚ), "is buur van" (op de verzameling inwoners van een stad) en "is verbonden met" (op de verzameling knopen in een fysiek netwerk).

Een relatie Q ⊂ E × E is asymmetrisch (of anti-symmetrisch) indien ∀ e₁, e₂ ∈ E: e₁ ≠ e₂ ∧ Q(e₁, e₂) ⇒ ¬Q(e₂, e₁).

Partiële ordening

Een relatie Q ⊂ E × E is een partiële ordening wanneer Q transitief, reflexief en asymmetrisch is.

De relaties ≤ en ≥ (is kleiner/groter dan of gelijk aan) op de verzameling reële getallen ℝ zijn dus partiële ordeningen. Ook de relatie ⊆ (is deelverzameling van), de hiërarchische relatie in een organisatieschema en de definitierelatie in een doelenboom zijn partiële ordeningen.

Totale ordening

Een relatie Q ⊂ E × E is een totale ordening wanneer Q transitief, irreflexief en asymmetrisch is.

De relaties < en > (is kleiner/groter dan) op de verzameling reële getallen ℝ zijn dus totale ordeningen.

Zie ook

• Logische symbolen
• De Wikipedia-artikelen Verzameling en Relatie.
• Deze kennisclip over verzamelingenleer
• Oefeningen:Relatie