Balansvergelijking

Een balansvergelijking geeft een behouden eigenschap van een systeem weer in de vorm van een wiskundige gelijkheid.

Dynamische balans

Een dynamische balans gaat over de verandering in de tijd van een grootheid in een afgebakend gebied en heeft de vorm van deze generieke differentiaalvergelijking:

dX/dt = ∑ Φ_{X, in} – ∑ Φ_{X, uit} + ∑ P_X

waarin

X de betreffende grootheid

Φ_{X, in} instroom van deze grootheid

Φ_{X, uit} uitstroom van deze grootheid

P_X productie van deze grootheid (of het verlies ervan - dan is de bijdrage negatief)

De vergelijking kan ook als differentievergelijking geschreven worden:

X_t+Δt = X_t + ( ∑ Φ_{X, in} – ∑ Φ_{X, uit} + ∑ P_X ) · Δt

De vergelijking voor de Bevolkingstoename (zie hieronder) is een voorbeeld van een dynamische balans.

Statische (of stationaire) balans

In een statische, of stationaire balans komt de tijd niet expliciet voor. De balans zegt dan niets over de snelheid waarmee veranderingen optreden, maar geeft alleen de relatie tussen de variabelen voor de evenwichtssituatie.

De balans kan verschillende vormen hebben, zoals deze voorbeelden laten zien:

∑ Φ_{X, in} – ∑ Φ_{X, uit} = 0

Dit is een voorbeeld van een dynamische balans zonder productie (zie hierboven), waarin dX/dt gelijk is gesteld aan nul. De vergelijking geeft dan de relatie tussen ∑ Φ_{X, in} en ∑ Φ_{X, uit} voor de situatie waarin de variabelen niet (meer) in de tijd veranderen, maar zegt niets over hoe snel deze situatie bereikt zal worden.

∑ F_m + ∑ F_w = 0

Dit is een krachtenbalans voor een auto die met een constante snelheid over een horizontale weg rijdt. Hierin is F_m de kracht die de motor levert en F_w de wrijvingskracht. Wanneer door het intrappen van het gaspedaal de motorkracht wordt opgevoerd, zal de snelheid hoger worden totdat de wrijvingskracht weer gelijk is aan F_m. De vergelijking zegt echter niets over hoe snel dit proces zal gaan.

De macro-economische balans, de grondbalans en de waterbalans (zie hieronder) zijn voorbeelden van de statische balans.

Canonieke voorbeelden

N.B. Deze voorbeelden behoren tot de TB-modellencanon en moet je dus uit het hoofd kennen!

Bevolkingstoename

De bevolkingstoename op een bepaald moment kan geschreven worden als de volgende differentiaalvergelijking:

dN/dt = gN/1000 - sN/1000 + I - E

waarin

N het aantal inwoners op dat moment [#_inw]

g het geboortecijfer [#_g #_inw^-1 jaar^-1] *

s het sterftecijfer [#_s #_inw^-1 jaar^-1] *

I de immigratie [#_i jaar^-1]

E de emigratie [#_e jaar^-1]

(* Het geboortecijfer en het sterftecijfer wordt gegeven per 1000 inwoners, vandaar dat in de balans door 1000 gedeeld moet worden.)

Vergelijk dit met de differentievergelijking in het artikel Causalerelatiediagram:

B_t+Δt = B_t + (G_t - S_t) + (I_t - E_t)

Macro-economische balans

De macro-economische balans van een land wordt doorgaans gemodelleerd als een stelsel van drie vergelijkingen:

Y	= C + B + S	(voor huishoudens)
W	= C + I + O + E - M	(voor bedrijven)
S	= I + (O - B ) + ( E - M)	(voor banken)

waarin

Y	Nationaal Inkomen	geld dat huishoudens van bedrijven ontvangen voor geleverde arbeid
C	Consumptie	geld dat huishoudens aan bedrijven betalen voor goederen en diensten
B	Belastingen	geld dat huishoudens afdragen aan de overheid
S	Besparingen	geld dat huishoudens bij banken op een spaarrekening zetten
I	Netto Investeringen	geld (uitgeleend door banken) dat bedrijven netto investeren (investeringen minus afschrijvingen)
O	Overheidsbestedingen	geld dat de overheid betaalt aan bedrijven (bv. voor aanleg van infrastructuur, maar ook overheidsconsumptie van goederen en diensten) en aan huishoudens (bv. ambtenarensalarissen)
E	Exportontvangsten	geld dat bedrijven uit het buitenland ontvangen voor geëxporteerde goederen en diensten
M	Importbetalingen	geld dat bedrijven betalen voor uit het buitenland geïmporteerde goederen en diensten
W	Netto Nationaal Product	per definitie gelijk aan het netto Nationaal Inkomen

De balansgrootheden zijn geldstromen. Alle variabelen in dit model hebben dezelfde eenheid [€] (of een andere valuta-eenheid).

Zie ook

• Oefeningen:Balansvergelijking
• Wetten van Kirchhoff (ook dat zijn balansvergelijkingen)