Multinomiaal logitmodel

Let op: Dit is sinds collegejaar 2021-2022 geen verplichte tentamenstof meer.

Een multinomiaal logitmodel (kortweg: MNL-model) beschrijft de kans dat een beslisser een bepaald alternatief kiest uit een gegeven verzameling alternatieven.

Net als een multicriteriamodel veronderstelt een MNL-model dat een beslisser één alternatief kan kiezen uit een verzameling alternatieven A = {a₁, ..., a_n} en daarbij let op hoe goed die alternatieven "scoren" op een verzameling criteria C = {c₁, ..., c_m}. Volgens het MNL-model is de kans P dat de beslisser voor alternatief a_i kiest gelijk aan

met

Hierin wordt de keuze die de beslisser maakt weergegeven door de stochast X, en is U(a_i) het nut (Engels: utility) dat de beslisser van alternatief a_i verwacht. Dit nut wordt berekend door (net als bij een SMART-model) de gewogen som over alle criteria c_j te nemen van het verwachte effect E van het alternatief op dat criterium. Bij elk criterium c_j hoort dus een gewicht w_j. De parameter α is een maat voor de mate waarin de beslisser überhaupt rekening houdt met de criteria in C. Als α = 0 is U(a_i) = 0 voor alle i en is P(X = a_i) = ¹⁄_n voor elk van de n alternatieven.

Voor grote aantallen beslissers kan dit model (dat in principe een probabilistisch model is) worden opgevat als een deterministisch model: de beslissers zullen in de verhouding van de kansen kiezen voor de verschillende alternatieven.

Voorbeeld

MNL-modellen worden onder andere gebruikt om het effect van maatregelen zoals prijshoging van brandstof of openbaar vervoer op de keuze van forensen voor een bepaalde vervoersmodaliteit (fiets, auto, bus, trein) te voorspellen. Zo'n MNL-model wordt eerst gekalibreerd op basis van empirische gegevens. Aannemend dat forensen bij hun keuze van vervoersmodaliteit rekening houden met drie criteria – kosten, reistijd en comfort – construeren we eerst een effectentabel met daarin voor elke modaliteit de huidige kosten, reistijd en comfortervaring. Om de gewichten w_j in de nutsfunctie U beter te kunnen interpreteren normeren we die gegevens op het interval [0, 1] (minst gunstig ... meest gunstig).

Criterium	Alternatieven					Genormaliseerde scores
	Fiets	Auto	Bus	Trein		Fiets	Auto	Bus	Trein
Kosten [€]	0,75	2,75	2,25	3,10		1,00	0,15	0,36	0,00
Reistijd [min]	45	20	40	30		0,00	1,00	0,20	0,60
Comfort [1-10]	4	9	6	7,5		0,00	1,00	0,40	0,70

Tegelijk wordt een steekproef onder forensen gedaan op grond waarvan kan worden vastgesteld hoe op dit moment de verhouding fiets : auto : bus : trein ligt. Laten we aannemen dat het onderstaande cirkeldiagram die verhouding goed weergeeft.

De waarden in dit diagram zouden gelijk moeten zijn aan de door het MNL-model berekende P(X = a_i). Ook de waarden van E(a_i, c_j) zijn bekend (de genormaliseerde effectscores). De volgende stap is daarom het schatten van de nog onbekende variabelen: de weegfactoren w_j en de parameter α. Dat "schatten" houdt in dat we naar díe combinatie van parameterwaarden zoeken die er voor zorgt dat de door het MNL-model berekende waarden van P(X = a_i) de waarden in het cirkeldiagram zo dicht mogelijk benaderen. Nemen we als weegfactor voor de criteria Kosten, Reistijd en Comfort respectievelijk 6, 5 en 4, en voor α 0,3 dan liggen de door het model berekende kansen heel dicht bij de empirisch waargenomen marktaandelen:

Modaliteit ai	Aandeel	P(X = ai)
Fiets	0,170	0,171
Auto	0,550	0,550
Bus	0,120	0,118
Trein	0,160	0,161

Het feit dat de door het model berekende waarden zo dicht overeenkomen met de in de werkelijkheid gemeten marktaandelen geeft aan dat we het keuzegedrag van forensen (de afhankelijke variabele) goed kunnen verklaren op basis van drie eigenschappen van vervoersmodaliteiten, namelijk kosten, reistijd en comfort (de onafhankelijke variabelen). Dit geeft ons het vertrouwen dat we het geconstrueerde MNL-model ook kunnen gebruiken als voorspellend model. Concreet houdt dat in dat we het model gebruiken om het marktaandeel per vervoersmodaliteit te berekenen met (deels) andere waarden voor hun kosten, reistijd en comfort. De vraag die we dan bijvoorbeeld aan het model stellen is "Hoe verandert de modaliteitskeuze als elektrische fietsen goedkoper worden, benzine juist duurder, en de trein frequenter gaat rijden?" Als we de nieuwe eigenschappen van de modaliteiten in het model invoeren berekent het MNL-model de verwachte verschuiving in marktaandelen:

	Veranderingen				Nieuwe effectscores
Criteria	Fiets	Auto	Bus	Trein	Fiets	Auto	Bus	Trein
Kosten [€]		+0,25			0,75	3,00	2,25	3,10
Reistijd [min]	-10			-5	35	20	40	25
Comfort [1-10]	+1				5	9	6	7,5

Modaliteit	Aandeel nu	Aandeel straks
Fiets	0,170	0,259
Auto	0,550	0,473
Bus	0,120	0,076
Trein	0,160	0,192

Om de verandering in de markt duidelijk te articuleren geven we de marktaandelen weer in een gestapeld staafdiagram:

Van dit voorbeeld bestaat een uitwerking tot een computationeel model in Excel.

Zie ook

• Multicriteriamodel
• Kansverdeling
• Oefeningen:Multinomiaal logitmodel