Verzameling
Een verzameling is een collectie van verschillende objecten, elementen genoemd, die op haar beurt ook weer als een object wordt beschouwd.
Inhoud
Notatie en eigenschappen
Verzamelingen worden met hoofdletters aangegeven.
Welke elementen tot een verzameling behoren kun je op twee manieren specificeren:
- Door een definitie te geven van de elementen in natuurlijke taal:
- A is de verzameling van alle TU-gebouwen die aan de Jaffalaan liggen.
- B is de verzameling van alle docenten van de module TB112 (Systeemmodellering 1).
- Door alle elementen op te sommen, waarbij je de elementen door komma's gescheiden tussen accolades schrijft:
- A = {gebouw 30, gebouw 30a, gebouw 31}
- B = {Pieter Bots, Ivo Bouwmans}.
Elementen zijn uniek, d.w.z. dat elk element van A precies één keer in A voorkomt.
De volgorde waarin de elementen van een verzameling worden opgeschreven doet er niet toe.
Je kunt tussen accolades ook met een logische expressie aangeven welke elementen in een verzameling zitten, bijvoorbeeld alle even getallen:
- A = {x: x / 2 ∈ ℕ}
Hier staat namelijk "A bevat alle x waarvoor geldt dat x gedeeld door twee in de verzameling natuurlijke getallen zit". De dubbele punt na de x betekent dus "waarvoor geldt".
Twee verzamelingen A en B zijn gelijk dan en slechts dan als ze precies dezelfde elementen hebben (A = B ⇔ ∀x : ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ) ).
Als elk element van verzameling A ook element is van verzameling B, dan is A een deelverzameling van B. Notatie: A ⊆ B.
Het aantal elementen in een verzameling A wordt de kardinaliteit van A genoemd (informeel ook wel "de grootte van A"). Notatie: |A| of ook wel #A.
Een verzameling kan een oneindig aantal elementen bevatten. Dit geldt bijvoorbeeld voor de verzameling natuurlijke getallen (ℕ). In dat geval is een extensionele beschrijving uiteraard niet mogelijk, maar kan een rij karakteristieke elementen gegeven worden: ℕ = { 1, 2, 3, ... }
Een verzameling kan niet zichzelf als element bevatten. Het is dus bijvoorbeeld niet mogelijk om "de verzameling van alle verzamelingen" te definiëren, want die zou zichzelf moeten bevatten.
Een verzameling zonder elementen wordt de lege verzameling genoemd en heeft als symbool ∅. Dus |∅| = #∅ = 0. Iedere verzameling heeft de lege verzameling als deelverzameling. (Verwar het symbool ∅ niet met de Griekse letter Φ.)
Met een Venndiagram kunnen verzamelingen en hun onderlinge relaties grafisch weergegeven worden.
Bewerkingen
Vereniging
De vereniging van twee verzamelingen A en B wordt gevormd door de elementen die in A of in B (of in beide) zitten. Notatie : A ∪ B.
Voorbeeld: als R = {aardbei, framboos}, G = {citroen, banaan} en B = {bosbes, banaan}, dan is
- R ∪ G = {aardbei, framboos, citroen, banaan}
- G ∪ B = {citroen, banaan, bosbes}
- R ∪ G ∪ B = {aardbei, framboos, citroen, banaan, bosbes}
De bewerking ∪ is zowel commutatief, d.w.z. A ∪ B = B ∪ A, als associatief, d.w.z. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
Doorsnede
De doorsnede van twee verzamelingen A en B wordt gevormd door de verzameling van gemeenschappelijke elementen, dus alle elementen die zowel in A als in B zitten. Notatie : A ∩ B.
Voorbeeld: als S de verzameling van alle studenten is en D de verzameling inwoners van Delft, dan heeft S ∩ D als elementen alle studenten die in Delft wonen (of zo je wilt: alle inwoners van Delft die student zijn). Als V de verzameling is van alle vrouwen, dan is S ∩ D ∩ V de verzameling van alle vrouwelijke studenten die in Delft wonen.
De bewerking ∩ is zowel commutatief, d.w.z. A ∩ B = B ∩ A, als associatief, d.w.z. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Verschil
Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling die bestaat uit de elementen van A die geen element van B zijn.
Notatie: A \ B. De verzameling A \ B wordt ook wel de verschilverzameling of het relatief complement van A en B genoemd.
Cartesisch product
Het Cartesisch product van twee verzamelingen A en B (notatie: A × B) is de verzameling van alle geordende paren (a, b) waar a ∈ A en b ∈ B.
Hoewel volgens deze definitie A × B × C een verzameling geordende paren ((a, b), c) oplevert schrijven we dergelijke paren als 3-tupels (a, b, c). Het Cartesisch product van n verzamelingen bevat dus n-tupels (a1, ..., an).
Het Cartesisch product gebruik je om relaties tussen verzamelingen aan te geven.
- Een tijdreeks met de waarden van een variabele V (bijvoorbeeld temperatuurwaarnemingen) is een deelverzameling van het Cartesisch product ℕ × ℝ, want elk gegeven is een geordend paar (t, w) waarin w de waarde is van V in tijdstap t.
- Een n-dimensionele matrix is het Cartesisch product van n verzamelingen.
- Een herkomst-bestemmingstabel M is een deelverzameling van het Cartesisch product L × L × ℕ waarbij L een verzameling geografische locaties is. Elk element van M is een 3-tupel (li, lj, n) waarin n het aantal personen of voertuigen aangeeft dat zich in een periode (bijvoorbeeld per dag) van locatie li naar locatie lj verplaatst.
- De pijlen in een causalerelatiediagram geven aan welke factoren elkaar beïnvloeden. Deze causale relatie C tussen factoren F = {f1, ..., fn} is een deelverzameling van het Cartesisch product F × F × {+, −}. Een pijl van factor f1 naar factor f2 komt overeen met een 3-tupel (f1, f2, r) waarbij r de richting van de beïnvloeding aangeeft: + als een toename van f1 leidt tot een toename f2, − als een toename van f1 leidt tot een afname f2.
- Een wiskundige functie f:ℝ → ℝ beschrijft een deelverzameling van het Cartesisch product ℝ × ℝ, namelijk de verzameling met alle geordende paren (x, y) met y = f(x).
Machtsverzameling
De machtsverzameling (Engels: power set) van een verzameling V, genoteerd als ℘(V), is de verzameling die als elementen alle mogelijke deelverzamelingen van V bevat.
Stel bijvoorbeeld dat een beleidsmaker drie sturingsinstrumenten ziet voor het stimuleren van de aanschaf energiezuinige auto's:
- A aanschafsubsidie
- B verhoging van accijns op verhoging op benzine en diesel
- C aanscherpen van emissienorm voor motorvoertuigen
Gegeven deze verzameling sturingsinstrumenten S = {A, B, C} is ℘(S) de verzameling beleidsopties (de 8 denkbare combinaties van sturingsinstrumenten).
Notatie van samengestelde verzamelingen
Als D de verzameling inwoners van Delft is, E de verzameling eerstejaarsstudenten en T de verzameling TB-studenten, dan kunnen we de verzameling A, "eerstejaars TB-studenten die niet in Delft wonen", noteren met twee methodes.
met verzamelingsoperatoren ( ∪ ∩ \ )
- A = ( E ∩ T ) \ D
- ("A is de doorsnede van E en T, zonder D")
op basis van uitspraken over de elementen, met logische operatoren ( ∨ ∧ ¬ )
- A = { x ∈ E | x ∈ T ∧ ¬ x ∈ D }
- ("A is de verzameling van de x die element zijn van E waarvoor geldt: x is element van T en x is niet element van D")
Binnen beide methodes zijn varianten mogelijk, zoals:
- A = ( E \ D ) ∩ T
- A = { x ∈ E ∩ T | x ∉ D }
Let er wel op dat je de twee methodes niet vermengt: gebruik geen logische operatoren (∨, ∧, ¬) om verzamelingen te koppelen, of verzamelingsoperatoren (∪, ∩, \) om logische uitspraken te koppelen.
(Incorrect zijn dus bijvoorbeeld: A = ( E ∧ T ) ¬ D en A = { x ∈ E | x ∈ T ∩ ¬ x ∈ D }.)
Bronvermelding
Dit artikel bevat bewerkingen van delen van de Wikipedia-artikelen Verzameling (wiskunde) en Cartesisch product. Hoewel deze artikelen geen verplichte stof zijn, bevelen we aan ze helemaal te lezen.
